Bislang spielte der Banachraum $\left(E,|\,.\,|\right)$ eine Statistenrolle bei der Diskussion des Integrals. Das soll sich jetzt ändern. Wir starten mit einer kleinen Beobachtung:
2.5.1. Bemerkung. Zur Erinnerung: Eine lineare Abbildung $\tau\colon F\to E$ zwischen zwei Banachräume ist genau dann stetig, wenn sie Lipschitz-stetig ist. Und dies ist genau dann der Fall, wenn es ein $\lambda\in \mathbb R$ gibt mit $|\tau(f)|_E\le \lambda |f|_F$ für alle $f\in F$. Eine derartige, stetig lineare Abbildung induziert stetige lineare Abbildungen $\tau_*\colon \mathcal L_p(X,\mu,F)\to\mathcal L_p(X,\mu,E)$ durch $\tau_*(g)(x):=\tau(g(x))$. Denn es ist $$\|\tau_*g\|_p= \left(\int_X |\tau_*g|_E^p \,d\mu\right)^\frac1p \le\left(\int_X\lambda^p|g|^p_F\,d\mu\right)^\frac1p=\lambda \|g\|_p.$$ Im Falle $p=1$ kommutiert diese Abbildung mit dem Integral $$\int_X\tau_*g\,d\mu =\tau\left(\int_Xg\,d\mu\right).$$Zur Begründung weisen wir diese Eigenschaft zuerst für eine $\mu$-einfache Funktion $\psi\in\mathcal{EF}(X,\mu,F)$ nach. Es ist \begin{align}\tau\left(\int_X\psi\,d\mu\right)&=\tau \left(\sum_{f\in F\setminus \{0\}}\mu\left(\psi^{-1}(f)\right)f\right)=\sum_{f\in F\setminus \{0\}}\mu\left(\psi^{-1}(f)\right)\tau(f)\\=&\sum_{e\in E\setminus \{0\}}\left(\sum_{f\in \tau^{-1}(e)}\mu\left(\psi^{-1}(f)\right)\right)e=\sum_{e\in E\setminus \{0\}}\mu\left((\tau\psi)^{-1}(e)\right)e=\int_X\tau_*\psi\,d\mu.\end{align} Die beiden linearen Abbildungen $$\tau\circ\left(\int_X\,d\mu\right)\colon\mathcal{L}_1(X,\mu,F)\to E \text{ und }\left(\int_X\,d\mu\right)\circ\tau_*\colon\mathcal{L}_1(X,\mu,F)\to E$$ stimmen somit auf dem $\|\,.\,\|_1$-dichten Unterraum $\mathcal{EF}(X,\mu,F)$ überein. Da beide Abbildungen stetig sind, müssen sie auf dem ganzen Definitionsbereich übereinstimmen.
Es sei nun $(Y,\mathfrak B,\nu)$ ein weiterer $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum.
2.5.2. Proposition. Für Elemente $f\in L_1\left(X,\mu,L_1(Y,\nu,E)\right)$ gilt $$\int_X\left(\int_Yf\,d\nu\right)\,d\mu=\int_Y\left(\int_Xf\,d\mu\right)\,d\nu.$$
Beweis. Versehen mit der Norm $\|\,.\,\|_1$, ist $L_1(Y,\nu,E)$ ein Banachraum, und das Integral $$\tau=\int_Y\,d\nu\colon L_1(Y,\nu,E)\to E$$ ist eine stetig lineare Abbildung zwischen Banachräumen. Die behauptete Gleichung besagt, dass $\tau$, wie oben diskutiert, mit dem Integral $\int_X\,d\mu$ vertauscht.
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Laut dem Satz von Fubini kann der Banachraum $L_1\left(X,\mu,L_1(Y,\nu,E)\right)$ mit einem Raum von integrierbaren Funktionen auf $X\times Y$ identifiziert werden. Die Formulierung des Satzes benötigt eine Definition.
2.5.3. Definition. Es seien $(X,\mathfrak A,\mu)$ und $(Y,\mathfrak B,\nu)$ jeweils $\sigma$-endliche Maßräume. Es bezeichne $\mathfrak A_e\subset \mathfrak A$ und $\mathfrak B_e\subset \mathfrak B$ die Mengen von endlichem Maß. Die Abbildung $$\mu\times\nu\colon \mathfrak A_e\times\mathfrak B_e\to [0,\infty],\quad (A,B)\mapsto \mu(A)\cdot\nu(B)$$ induziert ein äußeres Maß $(\mu\times\nu)^*$ auf $X\times Y$ und eine zugehörige $\sigma$-Algebra $\mathfrak A\otimes\mathfrak B$. Das von $(\mu\times\nu)^*$ induzierte Maß $\mu\otimes \nu$ wird das Produktmaß genannt.
2.5.4. Proposition. Für $\sigma$-endliche Maßräume $(X,\mathfrak A,\mu)$ und $(Y,\mathfrak B,\nu)$ ist $(X\times Y,\mathfrak A\otimes\mathfrak B,\mu\otimes\nu)$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum. Es gilt $\mathfrak A\times \mathfrak B\subset \mathfrak A\otimes\mathfrak B$ und $\mu\otimes\nu(A,B)=\mu(A)\cdot \nu(B)$ für $(A,B)\in \mathfrak A_e\times\mathfrak B_e$.
Für das Lebesgue-Maß $\lambda(n)$ auf $\mathbb R^n$ lässt sich daraus folgern, dass gilt $\lambda(m)\otimes\lambda(n)=\lambda(m+n)$.
Beweis. Allgemein gelten für Elemente in $\mathfrak A_e\times \mathfrak B_e$ die Identitäten \begin{align}(A_j\times B_j)\cap (A_k\times B_k)&=\left(A_j\cap A_k\right)\times\left(B_j\times B_k\right)\\
(A_j\times B_j)\setminus (A_k\times B_k) &=\left((A_j\setminus A_k)\times B_j\right)\sqcup \left((A_j\cap A_k)\times (B_j\setminus B_k)\right),
\end{align} Die Menge der endlichen disjunkten Vereinigungen von Elementen von $\mathfrak A_e\times \mathfrak B_e$ ist damit abgeschlossen gegenüber den mengentheoretischen Operationen Durchschnitt, Vereinigung und Komplementbildung.
Für $A\in\mathfrak A_e$ und $B\in \mathfrak B_e$ zeigen wir zuerst, dass $A\times B$ bezüglich des äußeren Maßes $(\mu\times\nu)^*$ messbar ist. Sei dazu eine Teilmenge $D\subset X\times Y$ gegeben und $(A_j\times B_j)_{j\in J} $ eine abzählbare Überdeckung von $D$ durch Elemente von $\mathfrak A_e\times \mathfrak B_e$. Dann bildet $C_j:= (A_j\times B_j)\cap (A\times B)$ mit $j\in J$ eine Überdeckung von $D\cap (A\times B)$ und $$C'_j\sqcup C''_j:= (A_j\times B_j)\cap \left(\left(A\times (Y\setminus B) \right)\sqcup \left((X\setminus A)\times B\right)\right)$$ eine Überdeckung von $D\cap \left((X\times Y)\setminus (A\times B)\right).$ Wegen der Additivität der Maße $\mu$ und $\nu$ gilt $\mu(A_j)\nu(B_j)= \mu\times\nu(C_j)+ \mu\times\nu(C'_j)+\mu\times\nu(C''_j)$ für jedes $j\in J$. Summation und Bilden des Infimums über alle derartigen Überdeckungen liefert $$(\mu\times\nu)^*(D)\ge (\mu\times\nu)^*\left(D\cap (A\times B)\right)+(\mu\times\nu)^*(D\cap \left((X\times Y)\setminus (A\times B)\right))$$ und damit die Messbarkeit von $A\times B$ bezüglich $\mu\otimes\nu$.
Zum Nachweis der Gleichung $\mu\otimes\nu(A\times B)=\mu(A)\cdot \nu(B)$ sei $(A_j\times B_j)_{j\in \mathbb N}$ eine abzählbare Überdeckung von $A\times B$ durch Elemente von $\mathfrak A_e\times \mathfrak B_e$. Nach entsprechender Abänderung der Folge, können wir sowohl annehmen, dass für alle $j\in J$ gilt $A_j\subset A$ und $B_j\subset B$, wie auch, dass die Überdeckungsmengen $A_j\times B_j$ paarweise disjunkt sind. Damit bilden die Funktionen $f_k:=\sum_{j\le k}\chi_{A_j\times B_j}$ eine wachsende Folge $(f_k)_k$ von Funktionen $X\times Y\to [0,\infty)$, welche punktweise gegen die charakteristische Funktion $\chi_{A\times B}$ konvergiert. Für jedes $x\in X$ bildet die Funktionfolge $f_j(x,\,.\,)\colon Y\to [0,\infty)$ ebenfalls eine wachsende, punktweise gegen $\chi_B$ konvergente Funktionenfolge. In der Gleichungskette \begin{align}
\tag{1}\sum_{j\in \mathbb N}\mu(A_j)\nu(B_j)&=\sum_{j\in \mathbb N}\int_X\chi_{A_j}\nu(B_j)\,d\mu
=\sum_{j\in \mathbb N}\int_X\chi_{A_j}\left(\int_Y\chi_{B_j}\,d\nu\right)\,d\mu \\
\tag{2}&=\sum_{j\in \mathbb N}\int_X\left(\int_Y\chi_{A_j\times B_j}\,d\nu\right)\,d\mu=\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{j\le k}\int_X\left(\int_Y\chi_{A_j\times B_j}\,d\nu\right)\,d\mu\right)\\
\tag{3}&=\lim_{k\to\infty}\int_X\left(\int_Yf_k\,d\nu\right)\,d\mu=\int_X\lim_{k\to\infty}\left(\int_Yf_k\,d\nu\right)\,d\mu =\int_X\left(\int_Y\lim_{k\to\infty}\,f_k\,d\nu\right)\,d\mu\\
\tag{4}&=\int_X\left(\int_Y\chi_{A\times B}\,d\nu\right)\,d\mu
=\int_X\left(\nu(B)\cdot\chi_A\right)\,d\mu=\mu(A)\cdot\nu(B)
\end{align} schreiben wir in $(1)$ die einzelnen Summanden jeweils in iterierte Intervalle um. In $(2)$ wird die Linearität der auftretenden Integrale angewandt. Im entscheidenden Schritt $(3)$ benutzen wir den Satz über monotone Konvergenz zuerst bezüglich des Maßes $\mu$, dann noch einmal bezüglich des Maßes $\nu$. Im letzten Schritt wird das entstehende iterierte Integral schrittweise berechnet.
qed
2.5.5. Satz von Fubini. Die Adjunktionsabbildung $$\mathrm{ad}\colon Abb(X\times Y,E)\to Abb(X,Abb(Y,E)), \quad \left(f\colon X\times Y\to E \right)\mapsto \left(x\mapsto \left(f_x\colon y\mapsto f(x,y)\right)\right)$$ induziert für jedes $p\in [1,\infty)$ einen normerhaltenden Isomorphismus von Banachräumen $$L_p(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)\to L_p\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right).$$ Für $p=1$ kommutiert dieser Isomorphismus mit der Integralabbildung, d.h. es gilt $$\int_{X\times Y}f\,d\left(\mu\otimes \nu\right) =\int_X\left(\int_Yf\,d\nu\right)\,d\mu.$$
Dieser Satz und sein Beweis sind, betrachtet aus der Perspektive der Vervollständigungen, banal. Der Beweis besteht zum größten Teil aus einer Aneinanderreihung von tautologischen Identitäten. Versucht man, den Satz als eine Aussage über integrierbare Funktionen zu formulieren oder zu beweisen, mutieren Satz und Beweis zu Albträume erzeugenden Monstern. Um das Prinzip des Beweises an einem einfachen Analogon zu erläutern, lassen Sie uns die Körper $\mathbb Q(\sqrt2)$ und $\mathbb Q(e,\pi)$ betrachten. Dies sind die jeweils kleinsten Unterkörper der komplexen Zahlen, welche die Zahl $\sqrt2$, beziehungsweise die beiden Zahlen $e$ und $\pi$, enthalten. Die beiden Körper sind grundverschieden. Es gibt nicht einmal einen Körper-Homomorphismus zwischen ihnen. Vervollständigt man sie beide mit Hilfe der euklidischen Metrik, so werden sie beide isomorph zu $\mathbb R$. Der Beweis ist banal: Beide Körper besitzen $\mathbb Q$ als Unterkörper, der als metrischer Raum dicht ist. Die universelle Eigenschaft der Vervollständigung liefert Abbildungen $\iota_1\colon\mathbb R=\widehat{\mathbb Q}\to\widehat{\mathbb Q(\sqrt2)}$ und $\iota_2\colon\mathbb R=\widehat{\mathbb Q}\to\widehat{\mathbb Q(e,\pi)}$. Da $\mathbb Q$ dicht war in den beiden Ausgangsräumen, sind $\iota_1$ und $\iota_2$ Isomorphismen. Damit haben wir einen Isomorphismus $\iota_1\circ\iota_2^{-1}\colon \widehat{\mathbb Q(e,\pi)}\to \widehat{\mathbb Q(\sqrt2)}$ konstruiert, ohne jemals zu spezifizieren, wohin $e,\pi$ oder $\sqrt2$ abgebildet werden.
Beweis. Wir betrachten eine Reihe von Räumen und Abbildungen zwischen diesen. Zur Orientierung gibt es eine kleine Landkarte, das heißt ein kommutierendes Diagramm. $$\begin{matrix}
\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y&\xrightarrow[\cong]{\mathrm{ad}}&\mathcal{EF}\left(X,\mu,\mathcal{EF}(Y,\nu,E)\right)\\
\downarrow&&\downarrow \wedge \\
\mathcal{EF}(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)&&\mathcal{EF}\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right)\\
\wedge\downarrow&&\downarrow \wedge \\
L_p(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)&\rightarrow&L_p\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right)\\
\end{matrix}$$ Die senkrechten Abbildungen sind, so wird sich herausstellen, jeweils isometrische Abbildungen mit dichtem Bild. Die obere waagerechte Abbildung ist ein isometrischer Isomorphismus. Die untere waagerechte Abbildung ist zwischen vollständigen metrischen Räumen. Die universellen Eigenschaft der Vervollständigung liefert sowohl Existenz, Eindeutigkeit, wie auch Invertierbarkeit.
Es bezeichne $\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y\subset \mathcal{EF}(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)$ den von $\mu$-einfachen Funktionen der Form $$\chi_{A\times B}e=\chi_A\chi_Be\colon X\times Y\to E, \quad (x,y)\mapsto\begin{cases}e&(x,y)\in A\times B\\0&\text{ sonst }\end{cases}$$ mit $A\in\mathfrak A_e$, $B\in\mathfrak B_e$ und $e\in E$, aufgespannten Unterraum. Jede solche Funktion kann dargestellt werden als endliche Summe $\psi=\sum_j \chi_{A_j\times B_j}e_j$, wobei die $A_j\times B_j$ paarweise disjunkt sind, mit Integral $$\int_{X\times Y}\psi\,d(\mu\otimes\nu)=\sum_j\mu(A_j)\nu(B_j)e_j.$$ Die Adjunktionsabbildung identifiziert $\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y$ mit dem Unterraum $\mathcal{EF}\left(X,\mu,\mathcal{EF}(Y,\nu,E)\right)$ der $\mu$-einfachen Funktionen auf $X$ mit Werten in den $\nu$-einfachen und $E$-wertigen Funktionen auf $Y$. Das Bild unter der Adjunktionsabbildung wird beschrieben durch $$\mathrm{ad}(\psi)\colon x\mapsto \sum_j\chi_{A_j}(x)\chi_{B_j}e_j.$$ Integration liefert $$\int_Y\mathrm{ad}(\psi)\,d\nu=\sum_j\chi_{A_j}\nu(B_j)e_j\quad \text{ und } \int_X\left(\sum_j\chi_{A_j}\nu(B_j)e_j\right)\,d\mu= \sum_j\mu(A_j)\nu(B_j)e_j.$$
Nun sehen wir uns die Normen auf den einzelnen Räumen an. Es gilt \begin{align}\|\psi\|_p &= \left(\int_{X\times Y}|\psi|^p\,d(\mu\otimes\nu)\right)^\frac1p=\left(\sum_j\mu(A_j)\nu(B_j)|e_j|^p\right)^\frac1p\\
\left\|\int_{Y}\mathrm{ad}_x(\psi) \,d\nu\right\|_p &= \left(\sum_j \chi_{A_j}(x)\nu(B_j)|e_j|^p\right)^\frac1p \\
\|\mathrm{ad}(\psi)\|_p &=\left(\int_X \left\|\int_{Y}\mathrm{ad}_x(\psi) \,d\nu\right\|_p^p\,d\mu\right)^\frac1p= \left(\sum_j\mu(A_j)\nu(B_j)|e_j|^p\right)^\frac1p.
\end{align} Die Adjunktionsabbildung induziert also eine die jeweiligen Seminormen erhaltende Isomorphie $$\mathrm{ad}\colon \mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y\to \mathcal{EF}\left(X,\mu,\mathcal{EF}(Y,\nu,E)\right).$$ Zu zeigen bleibt, dass die jeweiligen Bilder der kanonischen Abbildungen $$ \mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y\to L_p(X\times Y,\mu\otimes\nu,E), \quad \mathcal{EF}\left(X,\mu,\mathcal{EF}(Y,\nu,E)\right)\to L_p\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right)$$ dicht sind. Die Bilder der beiden Abbildungen $$
\mathcal{EF}\left(X,\mu,\mathcal{EF}(Y,\nu,E)\right)\to\mathcal{EF}\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right)\to L_p\left(X,\mu,L_p(Y,\nu,E)\right)$$ sind nach Definition der Räume $L_p$ als Vervollständigungen jeweils dicht, folglich auch die Bilder der komponierten Abbildungen. Es reicht zu zeigen, dass $$\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y\subset \mathcal{EF}(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)$$ dicht ist. Insbesondere reicht es zu zeigen, dass die charakteristische Funktion $\chi_C$ einer jeden $\mu\otimes\nu$-messbaren Menge $C\subset X\times Y$ von endlichem Maß für jedes $p\in[1,\infty)$ im $\|\,.\,\|_p$-Abschluss von $\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y$ liegt. Dies ist aber klar, da es zu jedem $\varepsilon\gt 0$ eine eine abzählbare Überdeckung von $C$ durch paarweise disjunkte Mengen der Form $A_j\times B_j$ gibt mit $$\left|\left(\sum_{j\in J}\mu(A_j)\nu(B_j)\right)-\mu\otimes\nu(C )\right|\lt \varepsilon/2.$$ Nach Auswahl einer endlichen Teilmenge $J'\subset J$ erhält man $$\left\| \left(\sum_{j\in J'}\chi_{A_j\times B_j}\right)-\chi_C\right\|_p= \left|\left(\sum_{j\in J'}\mu(A_j)\nu(B_j)\right)-\mu\otimes\nu(C )\right|\lt\varepsilon.$$qed
2.5.6. Inoffizielle Mitteilung. Die Banachräume $L_\infty(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)$ und $L_\infty\left(X,\mu,L_\infty(Y,\nu,E)\right)$ sind im Allgemeinen nicht isomorph. Studiert man den obigen Beweis, so zeigt sich, dass allein das Argument für die Dichtheit des Unterraums $\mathcal{EF}_X\otimes\mathcal{EF}_Y\subset \mathcal{EF}(X\times Y,\mu\otimes\nu,E)$ in der $\|\,.\,\|_\infty$-Metrik
nicht greift. Tatsächlich lassen sich leicht Gegenbeispiele konstruieren: Die $L_\infty$-Räume sind im Allgemeinen nicht separable Banachräume. Deshalb sind Funktionen mit Werten in diesen Banachräumen (wie zum Beispiel $\mathrm{ad}(f)\colon x\mapsto f_x$) im Allgemeinen keine Grenzwerte von $\mu$-f.ü. konvergenten Folgen einfacher Funktionen.