3.2.1. Definition. Sei $M$ eine Mannigfaltikeit der Dimension $n$. Einen Teilraum $N\subset M$ nennt man eine $k$-dimensionael Untermannigfaltigkeit, wenn es um jeden Punkt in $N$ eine Karte $x:U\to \mathbb R^n$ von $M$ gibt mit $x\left(U\cap N\right)=\mathbb{R}^{k}\subset \mathbb R^n$ gibt. Die Zahl $n-k$ nennt man Kodimension von $N$.
Die Menge der Abbldungen $x:U\cap N\to\mathbb{R}^{k}$ mit Karten aus einem Atlas von $M$ liefert einen Atlas von $N$. Eine abzählbare Basis der Topologie von $M$ liefert nach Schnitt mit $N$ eine abzählbare Basis der Topologie von $N$; die Hausdorff-Eigenschaft überträgt sich ebenfalls. Somit ist $N$ mit Fug und Recht eine Mannigfaltigkeit.
3.2.2. Definition. Eine differenzierbare Abbildung $f:M\to M'$ zwischen Mannigfaltigkeiten heißt regulär in $m\in M$, wenn für Karten $(U,x)$ um $m$ und $(U',x')$ um $f\left(m\right)=m'\in M'$ mit $f\left(U\right)\subset U'$ die Jakobische der komponierten Abbildung $x'\circ f\circ x^{-1}$ surjektiv ist. Ist $f$ in jedem Punkt in $f^{-1}(m')$ regulär, so nennt man $m'$ einen regulären Wert.
Wegen der Kettenregel ist der Begriff der Regularität unabhängig von den gewählten Karten.
3.2.3. Bemerkung. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt: Ist $m\in M$ ein regulärer Punkt von $f$, so ist $f$ lokal bei $m$ bezüglich geeigneter Karten eine Projektion $\mathbb{R}^{\dim M}\to\mathbb{R}^{\dim M'}$. Insbesondere gilt: Ist $f:M\to M'$ eine glatte Abbildung und $m'\in M'$ ein regulärer Wert, so ist das Urbild $N=f^{-1}\left(m'\right)$ eine Untermannigfaltigkeit von $M$ der Kodimension $\dim M'$.
3.2.4. Beispiele.
- Das Standardbeispiel ist die Sphäre $S^{n}$. Die Abbildung $\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R},\;\;x\mapsto\|x\|^{2}$ hat bezüglich der kanonischen Karten die Jakobische $Df(x): h\mapsto \langle2x,h\rangle$. Jeder Punkt $x\not=0$ ist also regulär und ebenso ist jeder Wert $y\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}$ regulär.
- Ein etwas originelleres Beispiel bekommen wir, wenn wir die Menge der quadratischen Matrizen $M=M\left(n\times n,\mathbb{R}\right)\cong\mathbb{R}^{n^{2}}$ betrachten. Die Teilmenge $S\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$ der symmetrischen Matrizen kann natürlich mit $\mathbb{R}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}$ identifiziert werden. Die Einheitsmatrix werde mit $E$ bezeichnet, die Transponierte einer Matrix $A\in M$ mit $A^{t}$. Eine Matrix heisst orthogonal, falls gilt $A\cdot A^{t}=E$.
Für die Abbildung \begin{align} f:M\left(n\times n,\mathbb{R}\right) &\to S\left(n\times n,\mathbb{R}\right)\\
A &\mapsto A\cdot A^{t}\end{align} ist die Einheitsmatrix, wie wir gleich zeigen werden, ein regulärer Wert. Also ist die Gruppe $O\left(n\right)=f^{-1}\left(E\right)$ eine $\frac{1}{2}n\left(n-1\right)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $M\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$.
Wir müssen nachweisen, dass es zu jedem $A\in O\left(n\right)$ und zu jedem $B\in S\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$ ein $X\in M\left(n\times n,\mathbb{R}\right)$ gibt, so dass die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $X$ im Punkte $A$ gleich $B$ ist. Dazu betrachten wir das Bild unter $f$ der Geraden $A+sX$ mit $s\in\mathbb{R}$ und berechnen die Richtungsableitung \begin{align} Df\left(A\right)X &=\lim_{s\to 0} \frac{1}{s}\left(\left(A+sX\right)\left(A+sX\right)^{t}-AA^t\right)\\
&= \lim_{s\to 0} \frac{1}{s}\left(sXA^{t}+sAX^{t}+s^{2}XX^{t}\right)\\
&= XA^{t}+AX^{t}.\end{align} Wir müssen also zu jeder symmetrischen Matrix $B$ eine Matrix $X$ finden, die die Gleichung $B=XA^{t}+AX^{t}$ löst. Die Matrix $X=\frac{1}{2}B\cdot A$ tut's.