Wir beginnen mit einem algebraischen Resultat.
1.1.1. Das Fünfer-Lemma. Das folgende kommutative Diagramm von $R$-Moduln habe exakte Zeilen $$\begin{matrix}
B_1&\xrightarrow{\beta_1}&B_2&\xrightarrow{\beta_2}&B_3&\xrightarrow{\beta_3}&B_4&\xrightarrow{\beta_4}&B_5\\
\scriptsize{\phi_1}\downarrow\phantom{\phi_1}&&\scriptsize{\phi_2}\downarrow\phantom{\phi_2}&&\scriptsize{\phi_3}\downarrow\phantom{\phi_3}&&\scriptsize{\phi_4}\downarrow\phantom{\phi_4}&&\scriptsize{\phi_5}\downarrow\phantom{\phi_5}\\
C_1&\xrightarrow{\gamma_1}&C_2&\xrightarrow{\gamma_2}&C_3&\xrightarrow{\gamma_3}&C_4&\xrightarrow{\gamma_4}&C_5.\end{matrix}$$ Sind $\phi_1$ surjektiv, $\phi_2$ und $\phi_4$ bijektiv und schließlich $\phi_5$ injektiv, so ist auch $\phi_3$ bijektiv.
Beweis. Die Hörner blasen zur fröhlichen Diagrammjagd.
- Injektivität: Es sei $b_3\in\ker\phi_3$ gegeben. Aus $$\phi_4\left(\beta_3(b_3)\right)=\gamma_3\left(\phi_3(b_3)\right)=0$$ schließen wir mit Hilfe der Bijektivität von $\phi_4$, dass gilt $\beta_3(b_3)=0$. Wegen der Exaktheit der oberen Reihe gilt $\ker\beta_3 =\mathrm{im}\,\beta_2$. Somit existiert ein $b_2\in B_2$ mit $\beta_2(b_2)=b_3$. Aus $$\gamma_2\left(\phi_2(b_2)\right)=\phi_3\left(\beta_2(b_2)\right)=\phi_3(b_3)=0$$ schließen wir mit Hilfe der Exaktheit der unteren Reihe auf die Existenz eines Elements $c_1\in C_1$ mit $\gamma_1(c_1)=\phi_2(b_2)$. Die Surjektivität von $\phi_1$ liefert uns schließlich ein Element $b_1\in B_1$ mit $\phi_1(b_1)=c_1$. Für dieses Element gilt $$\phi_2\left(\beta_1(b_1)\right)=\gamma_1\left(\phi_1(b_1)\right)=\gamma_1(c_1)=\phi_2(b_2).$$ Aus der Bijektivität von $\phi_2$ folgt nun $\beta_1(b_1)=b_2$ und wegen $\beta_2\circ\beta_1=0$ insbesondere $$b_3=\beta_2(b_2)=\beta_2\left(\beta_1(b_1)\right)=0.$$
- Surjektivität: Es sei $c_3\in C_3$ gegeben. Die Bijektivität von $\phi_4$ liefert uns ein Element $b_4\in B_4$ mit $\phi_4(b_4)=\gamma_3(c_3)$. Wegen $\gamma_4\circ\gamma_3=0$ ist $$\phi_5\left(\beta_4(b_4)\right)=\gamma_4\left(\phi_4(b_4)\right)=\gamma_4\left(\gamma_3(c_3)\right)=0.$$ Da $\phi_5$ injektiv ist, muss also gelten $\beta_4(b_4)=0$. Die Exaktheit der oberen Reihe liefert folglich ein Element $b_3'\in B_3$ mit $\beta_3(b_3')=b_4$ und es gilt $$\gamma_3\left(\phi_3(b_3')\right)=\phi_4\left(\beta_3(b_3')\right)=\phi_4(b_4)=\gamma_3(c_3).$$ Insbesondere ist $c_3-\phi_3(b_3')\in \ker\gamma_3=\mathrm{im}\,\gamma_2$. Wir wählen $\widehat{c}_2\in C_2$ mit $\gamma_2(\widehat{c}_2)=c_3-\phi_3(b_3')$ und setzen $\widehat{b}_2=\phi_2^{-1}\left(\widehat{c}_2\right)$. Für das Element $b_3=\beta_2\left(\widehat{b}_2\right)+b_3'\in B_3$ gilt dann $$\phi_3(b_3)=\phi_3\left(\beta_2\left(\widehat{b}_2\right)\right) +\phi_3(b_3')= \gamma_2\left(\phi_2\left(\widehat{b}_2\right)\right)+\phi_3(b_3') =\gamma_2\left(\widehat{c}_2\right)+\phi_3(b_3')=c_3.$$
qed
1.1.2. Endliche Additivität. Es sei $h_*$ eine Homologietheorie und $(X_j,A_j), j\in J$ eine endliche Familie von Raumpaaren. Bezeichnet $$i_j\colon (X_j,A_j)\to \left(\sqcup_jX_j,\sqcup_j A_j\right)$$ die kanonische Inklusion in die topologische Summe, so sind die Abbildungen $$\oplus_{j\in J} h_n\left(X_j,A_j\right)\to h_n\left(\sqcup_j X_j,\sqcup_jA_j\right),\quad (m_j)\mapsto \sum_{j\in J}h_n\left(i_j\right)(m_j)$$ jeweils Isomorphismen.
Beweis. Es reicht, den Fall $J=\{1,2\}$ zu betrachten. In dem kommutativen Diagramm $$\begin{matrix}
&&h_n(X_2)&&\\
&&{\scriptsize{i_2}}\downarrow&\phantom{\scriptsize{a_1}}\searrow \scriptsize{a_1}&\\
h_n(X_1)&\xrightarrow{i_1} & h_n(X_1\sqcup X_2) & \xrightarrow{j_1} & h_n(X_1\sqcup X_2, X_1)\\
&{\scriptsize{a_2}}\searrow\phantom{{\scriptsize{a_2}}} &{\scriptsize{j_2}}\downarrow &&\\
&&h_n(X_1\sqcup X_2, X_2)&&
\end{matrix}$$ seien die Abbildungen durch die Inklusionen von Raumpaaren induziert. Die diagonalen Pfeile beschreiben dann Ausschneidungsisomorphismen, senkrecht und waagerecht werden Ausschnitte aus langen exakten Sequenzen dargestellt. Aus der Bijektivität der Abbildungen $a_*$ folgt die Injektivität der Abbildungen $i_*$, sowie die Surjektivität der Abbildungen $j_*$. Außerdem gilt $j_*\circ i_*=0$, das heißt die Kompositionen der waagerechten, wie auch der senkrechten Pfeile sind jeweils Nullabbildungen. Folglich ist die Komposition von Abbildungen $$h_n(X_1)\oplus h_n(X_2)\xrightarrow{i_1 + i_2} h_n(X_1\sqcup X_2)
\xrightarrow{(j_2 , j_1)} h_n(X_1\sqcup X_2, X_2)\oplus h_n(X_1\sqcup X_2, X_1)$$ der Isomorphismus $a_1\oplus a_2$. Zu zeigen bleibt die Surjektivität der ersten Abbildung $i_1+i_2$. Für ein gegebenes $x\in h_n(X_1\sqcup X_2) $ gilt wegen der Kommutativität des Diagramms die Geichung $$j_2\left(x- i_1a_2^{-1}j_2(x)\right)=0.$$ Die Exaktheit der senkrechten Sequenz liefert ein $x_2\in h_n(X_2)$ mit $$x- i_1a_2^{-1}j_2(x)=i_2(x_2),$$ das heißt $x$ ist im Bild von $i_1+i_2$.
Die Zeilen in dem kommutierenden Diagramm $$\begin{matrix}
h_n(A_1)\oplus h_n(A_2)&\to &h_n(X_1)\oplus h_n(X_2) & \to &h_n(X_1,A_1)\oplus h_n(X_2, A_2) &\to& h_{n-1}(A_1)\oplus h_{n-1}(A_2)&\to &h_{n-1}(X_1)\oplus h_{n-1}(X_2)\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow& & \downarrow \\
h_n(A_1\sqcup A_2)&\to &h_n(X_1\sqcup X_2) & \to &h_n(X_1\sqcup X_2,A_1\sqcup A_2) &\to& h_{n-1}(A_1\sqcup A_2)&\to &h_{n-1}(X_1\sqcup X_2) \end{matrix}$$ sind Ausschnitte aus langen exakten Sequenzen: Oben steht die direkte Summe der Sequenzen zu den Raumpaaren $(X_1,A_1)$ und $(X_2,A_2)$, unten die Sequenz zur disjunkten Vereinigung der beiden Raumpaare. Die senkrechten Abbildungen sind die Summen der jeweiligen Inklusionsabbildungen. Aus dem bisher Bewiesenem folgt, dass die beiden linken und die beiden rechten senkrechten Pfeile jeweils Isomorphismen darstellen. Aus dem Fünfer-Lemma folgt, dass auch der mittlere senkrechte Pfeil einen Isomorphismus beschreibt.
qed
Die exakten Sequenzen zu Raumpaaren lassen sich geringfügig erweitern auf Raumtripel $X\supset A\supset B$. Der Randoperator für ein solches Tripel $(X,A,B)$ ist definiert als Komposition $$\partial\colon h_n(X,A)\to h_{n-1}(A)\to h_{n-1}(A,B),$$ wobei die erste Abbildung die Randabbildung zu $(X,A)$ ist und die zweite durch die Inklusion induziert.
1.1.3. Lange exakte Sequenzen zu Tripeln. Für jedes Tripel $(X,A,B)\in TOP(3)$ ist die Sequenz $$
\ldots \to h_{n+1}(X,A) \xrightarrow{\partial_{n+1}} h_n(A,B)\to h_n(X,B)\to h_n(X,A)\xrightarrow{\partial_n}\ldots
$$ exakt. Die nicht gekennzeichneten Abbildungen sind jeweils durch die Inklusionen induziert.
Ein algebraischer Beweis wird in den Übungen erfolgen. Später in der Vorlesung wird ein weiterer, alternativer Beweis vorgestellt.
1.1.4. Dualitäts-Satz. Die abgeschlossenen Teilmengen $A\subset \mathbb R^a$ und $B\subset \mathbb R^b$ seien homöomorph. Ist $h_*$ eine Homologietheorie, so sind $h_{n+a}(\mathbb R^a,\mathbb R^a\setminus A)$ und $h_{n+b}(\mathbb R^b,\mathbb R^b\setminus B)$ für jedes $n\in \mathbb Z$ isomorph.
Bevor wir uns an den Beweis machen, ein kleines Korollar. An dieser Stelle gehen wir davon aus, dass es tatsächlich eine gewöhnliche Homologietheorie $H_*$ mit $H_0(P)\not=0$ gibt.
1.1.5. Definition. Eine $d$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis der Topologie, der lokal euklidisch ist, d.h. es gibt zu jedem Punkt $m\in M$ eine offene Umgebung, welche homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\mathbb R^d$ ist.
1.1.6. Korollar. Die Dimension einer topologischen Mannigfaltigkeit ist wohlbestimmt; es gibt keine Homöomorphismen zwischen verschieden dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
Dass dies nicht so selbstverständlich ist, haben wir im vergangenen Semester gesehen: Es gibt stetige, surjektive Abbildungen $\mathbb R\to \mathbb R^d$ für jedes $d\ge 0$.
Beweis von 1.1.6. Es sei $U\subset M$ eine offene Umgebung des Punktes $m\in M$, $f\colon U\to V$ ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge $V\in\mathbb R^d$. Ausschneidung liefert die beiden nicht näher bezeichneten Isomorphismen in der Sequenz $$H_n(M,M\setminus \{m\})\xleftarrow{\cong} H_n(U,U\setminus \{m\})\xrightarrow{f_*} H_n(V,V\setminus \{f(m)\})\xrightarrow{\cong} H_n(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus f(m)).$$ Wenden wir den Dualitätssatz auf den einpunktigen Raum $\mathbb R^0$ an, so erhalten wir einen Isomorphismus $$H_n(\mathbb R^d,\mathbb R^d\setminus f(m))\cong H_{n-d}(\mathbb R^0,\mathbb R^0\setminus \mathbb R^0)=\begin{cases}0&\text{ für } n\not=d\\ H_0(P)\not=0&\text{ für }n=d.\end{cases}$$ qed
Den Schlüssel zum Beweis des Dualitätssatzes liefert die folgende Aussage.
1.1.7. Proposition. Sei $A\subset \mathbb R^a$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann sind $h_n(\mathbb R^a,\mathbb R^a\setminus A)$ und $h_{n+1}(\mathbb R^a\times \mathbb R, \mathbb R^a\times \mathbb R \setminus A\times\{0\})$ isomorph.
Beweis von 1.1.7. Wir benutzen folgende offene Teilmengen von $\mathbb R^{a+1}$
- $M_+= \big(\mathbb R^a\times\; ]-1,\infty[\big)\setminus \big(A\times\;]-1,0]\big)$
- $M_-= \big(\mathbb R^a\times \;]-\infty, 1[\big)\setminus \big(A\times \,[0,1[\big)$
- $M_+\cup M_-=\mathbb R^{a+1} \setminus A\times\{0\}$
- $M_+\cap M_-=\left(\mathbb R^{a} \setminus A\right)\times\; ]-1,1[.$
Die beiden Unterräume $M_\pm$ sind kontraktibel: Die Homotopie $$h_t\colon M_+\to M_+,\quad (x,s)\mapsto (x,s+t)$$ startet bei $h_0=\mathrm{id}_{M_+}$ und endet bei einer Abbildung $h_1$, deren Bild im kontraktiblen Unterraum $\mathbb R^a\times ]0,\infty[$ liegt. Im folgenden Diagramm $$\begin{matrix} h_n(\mathbb R^a,\mathbb R^a\setminus A)&&&&h_{n+1}(\mathbb R^a\times \mathbb R, \mathbb R^a\times \mathbb R \setminus A\times\{0\})\\
\scriptsize{a}\downarrow\phantom{a}&&&&\scriptsize{\partial}\downarrow\phantom{partial}\\
h_n(\mathbb R^{a+1},M_+\cap M_-)&\xleftarrow{b}&h_n(M_+,M_+\cap M_-)&\xrightarrow{c}&h_n(M_+\cup M_-, M_-)\end{matrix}$$ bezeichnet $\partial$ den Randoperator zum Tripel $(\mathbb R^{a+1},M_+\cup M_-,M_-)$. Aus der Kontraktibilität von $\mathbb R^{a+1}$ und von $M_-$ schließen wir, dass der jeweils dritte Term in der langen exakten Sequenz zu diesem Tripel verschwindet. Der Randoperator $\partial$ ist folglich ein Isomorphismus. Auch die anderen drei Abbildungen sind Isomorphismen: Die die Abbildung $a$ induzierende Inklusion $(\mathbb R^a,\mathbb R^a\setminus A)\to (\mathbb R^{a+1},M_+\cap M_-)$ ist eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung $b$ ist Teil der langen exakten Sequenz zum Tripel $(\mathbb R^{a+1},M_+,m_+\cap M_-)$. Der jeweils dritte Term verschwindet. Die Abbildung $c$ schließlich ist ein Ausschneidungsisomorphismus.
qed
Beweis von 1.1.4. In Satz 3.2.5. aus dem vergangenen Semester wurde ein Homöomorphismus von $\mathbb R^a\times \mathbb R^b$ in sich konstruiert, der die Komplemente von $A\times \{0\}$ und $\{0\}\times B$ in $\mathbb R^a\times \mathbb R^b$ aufeinander abbildet. Ein solcher Homöomorphismus liefert jedes $n\in \mathbb Z$ einen induzierten Isomorphismus $$h_{n+a+b}(\mathbb R^{a+b}, \mathbb R^{a+b}\setminus A\times \{0\}) \cong h_{n+a+b}(\mathbb R^{a+b}, \mathbb R^{a+b}\setminus \{0\}\times B).$$ Iterierte Anwendung des Isomorphismus aus 1.1.7. auf beiden Seiten liefert das Resultat.
qed