Im Folgenden bezeichne $$D^n=\{x\in \mathbb R^n\mid \|x\|\le 1\}$$ den Einheitsdisk im $n$-dimensionalen euklidischen Raum. Dieser wird berandet von der $n-1$-dimensionalen Sphäre $$S^{n-1}=\{x\in \mathbb R^n\mid \|x\| = 1\}.$$
1.3.1. Definition. Es sei $(X,A)$ ein topologisches Raumpaar, $A$ Hausdorffsch. Eine relative CW-Struktur auf $(X,A)$ ist eine Filtrierung $$A=X_{-1}\subset X_0\subset X_1\subset \ldots\subset X_n\subset \ldots \subset X$$ durch Unterräume, so dass gilt:
Ein mit einer CW-Struktur versehenes topologisches Raumpaar $(X,A)$ wird relativer CW-Komplex genannt. Ist $A=\emptyset$, so nennt man $X$ einen (absoluten) CW-Komplex. Die Bilder $\Phi_i^n( D^n)$ werden als $n$-Zellen in $(X,A)$ bezeichnet.
\sqcup_{i\in I_n}S^{n-1} & \xrightarrow{\sqcup_{I_n}\phi_i^n} &X_{n-1}\\
\sqcup_{I_n}\scriptstyle{j_i}\downarrow\phantom{\sqcup_i\scriptstyle{j_i}}&&\phantom{\scriptstyle{k_n}}\downarrow\scriptstyle{k_n}\\
\sqcup_{i\in I_n}D^{n} & \xrightarrow[\sqcup_{I_n}\Phi_i^n]{} &X_{n},\end{matrix}
$$ wobei $j_i,i\in I_n$ und $k_n, n\ge 0$ die kanonischen Inklusionen beschreiben und $I_n$ Indexmengen.
Eine stetige Abbildung $g\colon (X,A)\to (Y,B)$ zwischen CW-Komplexen heißt zellulär, falls sie die Gerüstfiltrierung erhält: $g(X_n)\subset Y_n$ für jedes $n\ge -1$.
1.3.2. Beispiele. Aus dem letzten Semester sind einige Beispiele bereits bekannt.
- Die $n$-dimensionale Sphäre kann beschrieben werden als ein Quotientenraum $D^n/S^{n-1}$. Die berandende Sphäre des Einheitsdisks wird zu einem Punkt identifiziert. Damit erhält die Sphäre eine CW-Struktur mit einer $0$-Zelle und einer $n$-Zelle.
- Der reell projektive Raum $\mathbb RP^n$ der $1$-dimensionalen Untervektorräume im euklidischen Vektorraum $\mathbb R^{n+1}$ (Vgl. GT 2.4) wird durch Identifikation der Antipoden einer $n$-Sphäre definiert, $\mathbb RP^n=S^n/\pm1$. Der projektive Raum $\mathbb RP^n$ entsteht aus der leeren Menge duch sukzessives Ankleben von $k$-Zellen für $k=0,1,\ldots,n$ vermittels der Quotientenabbildungen $S^{k-1}\to \mathbb RP^{k-1}$ (GT 2.5.5.). Dies beschreibt eine CW-Struktur mit je einer Zelle in den Dimensionen $0,1,\ldots,n$.
- Der komplex projektive Raum $\mathbb CP^n$ der $1$-dimensionalen Untervektorräume in unitären Raum $\mathbb C^{n+1}$ wird in analoger Weise als Quotientenraum einer Gruppenwirkung der unitären Gruppe $U(1)$ auf der $2n+1$-Sphäre definiert, $\mathbb CP^n=S^{2n+1}/U(1)$. Er entsteht aus der leeren Menge duch sukzessives Ankleben von $k$-Zellen gerader Dimension für $k=0,2,\ldots,2n$ vermittels der Quotientenabbildungen $S^{2k-1}\to \mathbb CP^{k-1}$ (Aufgabe GT 4.4.). Dies beschreibt eine CW-Struktur mit insgesammt $n+1$ Zelle in den Dimensionen $0,2,\ldots,2n$.
- Allgemeiner kann gezeigt werden, dass jede differenzierbare, endlich dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer CW-Struktur versehen werden kann. Dies geschieht mit Hilfe von sogenannten Morse-Funktionen.
- Bei topologischen Mannigfaltigkeiten ist die Situation etwas komplizierter. Man kann immerhin zeigen, dass diese homotopieäquivalent zu CW-Komplexen sind.
- Es gibt ein sehr allgemeines Theorem, das im Wesentlichen besagt, dass die Räume stetiger Abbildungen zwischen CW-Komplexen, versehen mit der kompakte-offenen Topologie, zumindest homotopieäquivalent zu CW-Komplexen sind.
Die für uns wichtige Nachricht betrifft insbesondere gewöhnliche Homologietheorien:
Die Homologiegruppen lassen sich aus einer CW-Zerlegung vollständig berechnen.
Die Berechnung reflektiert die Zerlegung und ist, zumindest im Prinzip, erstaunlich einfach. Ich werde sie im Folgenden kurz skizzieren. In dieser Beschreibung werden einige Fakten beschrieben, die erst später bewiesen werden. Zuerst einmal ist das $n$-Gerüst $X_n\subset X$ ein Umgebungsdeformationsretrakt. Mit 1.2.8. liefert diese Tatsache die erste der folgenden Identifikationen $$h_*(X_n,X_{n-1})\cong h_*(\sqcup_{I_n}D^n,\sqcup_{I_n}S^{n-1})\cong \oplus_{I_n} h_*(D^n,S^{n-1})\cong \oplus_{I_n} h_{*-n}(P).$$ Damit die zweite Identifikation gilt, muss entweder die Indexmenge endlich sein, oder aber die Homologietheorie additiv. Die dritte Identifikation schließlich benutzt 1.2.5. Es macht Sinn, alle entstehenden Homologien auf einem Blatt geordnet darzustellen: $$\begin{matrix}&\vdots&&\vdots&&\vdots&\\
\cdots&h_{q+1}(X_{p+q+2},X_{p+q+1})&\xrightarrow{\partial}&h_{q}(X_{p+q+1},X_{p+q})&\xrightarrow{\partial}&h_{q-1}(X_{p+q},X_{p+q-1})&\cdots\\
\cdots&h_{q+1}(X_{p+q+1},X_{p+q})&\xrightarrow{\partial}&h_{q}(X_{p+q},X_{p+q-1})&\xrightarrow{\partial}&h_{q-1}(X_{p+q-1},X_{p+q-2})&\cdots\\
\cdots&h_{q+1}(X_{p+q},X_{p+q-1})&\xrightarrow{\partial}&h_{q}(X_{p+q-1},X_{p+q-2})&\xrightarrow{\partial}&h_{q-1}(X_{p+q-2},X_{p+q-3})&\cdots\\
&\vdots&&\vdots&&\vdots&\\
\end{matrix}$$ Die einen CW-Komplex bestimmenden Daten sind zum Einen die Zellen und zum Anderen die anklebenden Abbildungen. Entsprechend sollten die in die Berechnung der Homologie $h_*(X,A)$ eingehenden Daten zum Einen aus den in dem Diagramm gelisteten, den Zellen zugeordneten, Homologiegruppen bestehen, zum Anderen aus geeignet konstruierten Abbildungen zwischen diesen. Gewisse solche Abbildungen sind bereits in das Diagramm eingetragen. Diese sogenannten ersten Differentiale sind definiert als die Randabbildungen $$ h_{q}(X_{p+q},X_{p+q-1})\xrightarrow{\partial\, =\, \partial^1_{p,q}} h_{q-1}(X_{p+q-1},X_{p+q-2}) $$ in den langen exakten Homologiesequenzen zu den Tripeln $(X_{p+q},X_{p+q-1},X_{p+q-2}).$ Man nennt das oben beschriebene Diagramm das $E^1$-Blatt in der zellulären Spektralsequenz zur Berechnung von $h_*(X,A)$. An der $(p,q)$-ten Stelle, d.h. in der $p$-ten Zeile und $q$-ten Spalte steht der Term $$E^1_{p,q}:=h_q(X_{p+q},X_{p+q-1}).$$
1.3.3. Lemma. $$\partial^1_{p,q}\circ\partial^1_{p,q+1}=0.$$
Beweis. Die Randabbildung zum Tripel $(X_{p+q},X_{p+q-1},X_{p+q-2})$ faktorisiert nach Definition $$
\partial^1_{p,q}\colon h_q(X_{p+q},X_{p+q-1})\xrightarrow{\widetilde{\partial}_{p,q}} h_{q-1}(X_{p+q-1})\xrightarrow{i_{p,q-1}} h_{q-1}(X_{p+q-1},X_{p+q-2})
$$ wo $\widetilde{\partial}_{p,q}$ die Randabbildung in der langen exakten Sequenz zum Paar $(X_{p+q},X_{p+q-1})$ ist und $i_{p,q-1}$ die von der Inklusion induzierte Abbildung. Die Abbildung $\partial_{p,q}\circ\partial_{p,q+1}$ lässt sich also darstellen als Komposition vierer Abbildungen $$
h_{q+1}(X_{p+q+1},X_{p+q})\xrightarrow{\widetilde{\partial}_{p,q+1}} h_{q}(X_{p+q})\xrightarrow{i_{p,q}}
h_q(X_{p+q},X_{p+q-1})\xrightarrow{\widetilde{\partial}_{p,q}} h_{q-1}(X_{p+q-1})\xrightarrow{i_{p,q-1}} h_{q-1}(X_{p+q-1},X_{p+q-2}).
$$ Die mittleren zwei Abbildungen tauchen hintereinander in der langen exakten Sequenz zum Paar $(X_{p+q},X_{p+q-1})$ auf, sind in der Komposition also Null.
qed
Im Falle einer gewöhnlichen Homologietheorie vereinfacht sich das obige Diagramm im $E^1$-Blatt gewaltig, denn nur in der $p=0$-ten Zeile $$
\cdots h_{q+1}(X_{q+1},X_{q}) \xrightarrow{\partial} h_{q}(X_{q},X_{q-1}) \xrightarrow{\partial} h_{q-1}(X_{q-1},X_{q-2}) \cdots
$$ stehen nicht-verschwindende Einträge. In diesem Fall einer gewöhnlichen Homologietheorie $H_*$ setzt man $$C_q:=H_q(X_q,X_{q-1}),\quad \partial_q:=\partial^1_{0,q}$$ und nennt die Folge von $R$-Moduln $$\cdots \xrightarrow{\partial_{q+2}}C_{q+1}\xrightarrow{\partial_{q+1}}C_{q}\xrightarrow{\partial_{q}}C_{q-1}\xrightarrow{\partial_{q-1}}\cdots$$ den zellulären Kettenkomplex zur gegebenen CW-Struktur.
1.3.4. Fakt. Die Homologie $H_n(X,A)$ eines CW-Komplexes berechnet sich für eine additive, gewöhnliche Homologietheorie als Homologie des zellulären Kettenkomplexes, d.h. es gilt $$H_n(X,A)\cong \frac{\ker\partial_n}{\mathrm{im}\,\partial_{n+1}}.$$
Wir werden diese Tatsache in Kürze für den Fall eines endlich dimensionalen CW-Komplexes, d.h. falls es ein $N$ gibt mit $X_N=X$, beweisen. In einigen Fällen lässt sich die Homologie eines Raumes dadurch schon vollständig bestimmen:
1.3.5. Korollar. Bezeichnet $H_*(-;M)$ eine additive gewöhnliche Homologietheorie mit Koeffizienten $M$, so gilt für $n\in \mathbb N$:$$\begin{aligned}
H_k(S^n;M)&\cong\begin{cases} M&\text{ für } k\in \{0,n\}\\ 0&\text{ sonst,}\end{cases}\\
H_k(\mathbb CP^n;M)&\cong\begin{cases} M&\text{ für } k\in \{0,2,\ldots, 2n\}\\ 0&\text{ sonst.}\end{cases}\end{aligned}
$$ Besitzt, allgemeiner, der relative CW-Komplex $(X,A)$ zur Zellen in gerader Dimension, so gilt $$H_k(X,A;M)\cong H_k(X_k,X_{k-1};M)\cong \oplus_{I_k}M.$$
Beweis. Die Randabbildungen im zellulären Kettenkomplex sind notwendig Nullabbildungen, da entweder die Quelle oder das Ziel der Nullmodul ist. Einzige Ausnahme ist der Fall $X=S^1$. Hier brauchen wir ein anderes Argument. Es bezeichne $P$ einen einpunktigen Raum und $i\colon P\to S^1$ eine Abbildung. Kombination mit der Abbildung $\pi\colon S^1\to P$ liefert die identische Abbildung $\pi\circ i=\mathrm{id}_P$ und folglich gilt $H_0(\pi)\circ H_0(i)=\mathrm{id}_M$. Da die Abbildung $H_0(\pi)\colon H_0(S^1;M)\to H_0(P;M)$ über den Kokern der Randabbildung $\partial\colon C_1\to C_0=M$ faktorisiert, muss gelten $\partial=0$.
qed.
Zum Verständnis der Randabbildungen $\partial_{q+1}\colon C_{q+1}\to C_{q}$ betrachten wir das folgende Diagramm:$$
\oplus_{I_{q+1}}M\cong H_{q+1}(X_{q+1},X_{q})\xleftarrow{\cong}H_{q+1}(\sqcup\,D^{q+1},\sqcup\,S^{q})\xrightarrow{\cong}H_{q}(\sqcup\,S^{q}) \xrightarrow{H_{q}(\sqcup_{I_{q+1}}\,\phi_i)}H_{q}(X_q/X_{q-1},*)\cong \oplus_{I_{q}}M.
$$ Die einzige nicht-kanonische Abbildung in dieser Sequenz ist $H_{q}(\sqcup_{I_{q+1}}\,\phi_i)$, die von den anklebenden Abbildungen $\phi_i\colon S^q\to X_q$, gefolgt von der Quotientenabbildung auf das Bouquet $$X_q\to X_q/X_{q-1}\cong \vee_{j\in I_q}S^q$$ von Sphären. Ein derartiges Bouquet von Sphären erhalten wir, wenn wir in disjunkten Sphären jeweils einen Punkt auszeichnen und alle diese Punkte zu einem Punkt $*$ verkleben. Für jedes $j\in I_q$ gibt es eine Abbildung $\pi_j\colon\vee_{j\in I_q}S^q\to S^q$ auf die durch $j$ indizierte Sphäre, welche die restlichen Sphären im Bouquet auf den Basispunkt $*$ wirft. Die Randabbildung $$\partial_q\colon \oplus_{I_{q+1}}M\to \oplus_{I_q}M$$ wird durch die Abbildungen $$ M\cong H_q(S^q)\xrightarrow{H_q(\pi_j\circ \phi_i)} H_q(S^q)\cong M$$ für $(i,j)\in I_{q+1}\times I_q$ vollständig beschrieben. Jede dieser Abbildungen beschreibt, wie oft die anklebende Abbildung der $i$-ten $(q+1)$-dimensionalen Zelle den Rand dieser Zelle um die $j$-te $q$-dimensionale Zelle wickelt. Hierbei benutzen wir folgenden, nicht einfach zu beweisenden Satz aus der Homotopietheorie:
1.3.6. Inoffizielle Mitteilung. Für jedes $q\in \mathbb N$ gibt es eine wohldefinierte Grad-Abbildung mit $$\deg\colon [(S^q,*),(S^q,*)]\xrightarrow{\cong} \mathbb Z.$$
Aus dem vergangenen Semester kennen wir diesen Satz im Falle $q=1$. Ist $f\colon S^1\to S^1$ beschrieben durch $(x_0,x_1)\mapsto\left(f_0(x_0,x_1), f_2(x_0,x_1)\right)$ für $(x_0,x_1)\in S^1\subset \mathbb R^2$, so beschreibt $$\begin{aligned}\Sigma^{q-1}f:S^q&\to S^q\\(x_0,x_1,\ldots,x_q)&\mapsto
\left(\sqrt{1-\|(x_2,\ldots,x_q)\|^2}f_0(x_0,x_1),\sqrt{1-\|(x_2,\ldots,x_q)\|^2}f_1(x_0,x_1), x_2,\ldots,x_q\right)\end{aligned}$$ eine Abbildung mit $\deg(\Sigma^{q-1}f)=\deg(f)$.
Ob diese inoffizielle Mitteilung sich im laufenden Semester noch zu einem offiziellen Satz mausert, wird sich zeigen. Aus dieser Aussage folgt jedenfalls, dass die Randabbildung $$\oplus_{I_{q+1}}M\cong C_{q+1}\xrightarrow{\partial_{q+1}}C_q\cong \oplus_{I_q}M$$ durch eine $|I_q|\times |I_{q+1}|$-Matrix mit ganzzahligen Einträgen beschrieben wird.
Im Falle einer allgemeinen Homologietheorie reichen die oben beschriebenen ersten Differentiale nicht aus, die Homologie $h_*(X,A)$ vollständig zu berechnen. Der Grund ist an dem Beispiel $\mathbb CP^2$ relativ einfach zu erläutern: Die anklebende Abbildung der $4$-Zelle an das $2$-Gerüst wird durch eine Abbildung $\phi\colon S^3\to S^2$ beschrieben, die nicht homotop zur konstanten Abbildung ist. Für eine gewöhnliche Homologietheorie $H_*$ gilt notwendig $H_*(\phi)=0$ da die Homologie der beiden Räumen in unterschiedlichen Dimensionen konzentriert ist. Eine gewöhnliche Homologietheorie kann diese Abbildung folglich nicht von der Null-Abbildung unterscheiden. Es gibt allerdings verallgemeinerte Homologietheorien mit $h_*(\phi)\not=0$.
Solche Phänomene machen die Berechnung der einzelnen Homologiegruppen naturgemäß komplizierter. Algebraisch bekommt man das rekursiv in den Griff: Man startet mit dem oben beschriebenen $E^1$-Blatt und berechnet daraus ein $E^2$-Blatt: An der $(p,q)$-ten Stelle steht der Term $$E^2_{p,q}:= \frac{\ker\partial^1_{p,q}}{\mathrm{coker}\,\partial^1_{p,q+1}}.$$ Auf diesem zweiten Blatt ist dann ein zweites Differential $$\partial^2_{p,q}\colon E^2_{p,q}\to E^2_{p-1,q-2}$$ definiert. Dies zweite Differential beschreibt die Wirkung der anklebenden Abbildungen in einer tiefer liegenden Dimension, die vermittels dieser zweiten Differentiale miteinander korrespondierenden Positionen auf dem $E^2$-Blatt liegen weiter auseinander. Es gilt wiederum $$\partial^2_{p-1,q-2}\circ\partial^2_{p.q}=0.$$ Wir können folglich ein $E^3$-Blatt berechnen und finden dort dritte Differentiale $\ldots$. Sie ahnen schon, in welche Richtung dieser Zug fährt.