Das Standard-$n$-Simplex $\Delta_n$ für $n\ge 0$ ist die konvexe Hülle $$
\Delta_n:= \left\{(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^{n+1}\quad\middle|\quad x_k\ge0,\sum_{k=0}^nx_k=1\right\}
$$ der Standardbasis im $(n+1)$-dimensionalen euklidischen Raum. Für jedes $k\in\{0,1,\ldots,n\}$ betrachten wir die Inklusion $$i_k^n\colon\Delta_{n-1}\to \Delta_n, \quad (x_0,\ldots,x_{n-1})\mapsto (x_0,\ldots,x_{k-1},0,x_k,\ldots,x_{n-1})$$ der $k$-ten Seite in $\Delta_n$, welche dem $k$-ten Einheitsvektor gegenüber liegt.
1.5.1. Definition. Es sei $X$ ein topologischer Raum, $M$ ein Modul über dem kommutativen Ring $R$.
Für eine singuläre Kette $c=\sum_{j\in J} m_j\sigma_j$ ist die Randabbildung also gegeben durch $$\partial_n (c )= \sum_{j\in J}\sum_{k=0}^n
(-1)^km_j\left(\sigma_j\circ i_k^n\right).$$
Die für $n\ge 1$, $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ und $\ell\in \{0,1,\ldots,n\}$ geltenden Vertauschungsrelationen $$
i_\ell^n\circ i_k^{n-1}=\begin{cases}
i_k^n\circ i_{\ell-1}^{n-1}& \text{ falls } k\lt \ell,
\\
i_{k+1}^n\circ i_{\ell}^{n-1}& \text{ falls } k\ge \ell
\end{cases}$$ liegen der folgenden Aussage zugrunde.
1.5.2. Lemma. Die singulären Ketten bilden einen Kettenkomplex $\left(C_*^{sing}(X;M),\partial_*\right)$.
Beweis.$$
\begin{aligned}
\partial_{n-1}\circ\partial_{n}(\sigma)
&=\partial_{n-1}\left(\sum_{\ell=0}^{n}(-1)^\ell\sigma\circ i_\ell^{n}\right)\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=0}^{n}(-1)^{k+\ell}\sigma\circ i_\ell^{n}\circ i_k^{n-1}\\
&=\sum_{0\le k \lt \ell\le n}(-1)^{k+\ell}\sigma\circ i_\ell^{n}\circ i_k^{n-1} +
\sum_{0\le\ell \le k\le n-1}(-1)^{k+\ell}\sigma\circ i_\ell^{n}\circ i_k^{n-1}\\
&=\sum_{0\le \ell \le k\le n-1}(-1)^{k+\ell+1}\sigma\circ i_\ell^{n}\circ i_k^{n-1} +
\sum_{0\le\ell \le k\le n-1}(-1)^{k+\ell}\sigma\circ i_\ell^{n}\circ i_k^{n-1}\\
&=0.\end{aligned}
$$qed
1.5.3. Bemerkungen.
- Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen topologischen Räumen induziert einen $R$-Kettenhomomorphismus $$C_*(f)\colon C_*^{sing}(X;M)\to C_*^{sing}(Y;M), \quad \sum_{i\in I} m_i\sigma_i\mapsto \sum_{i\in I} m_i\, (f\circ\sigma_i).$$
- Ist insbesondere $j\colon A\to X$ die Einbettung eines Unterraumes, so setzen wir $$C_*^{sing}(X,A;M):=C_*^{sing}(X;M)/C_*^{sing}(A;M)$$ und erhalten eine kurze exakte Sequenz von $R$-Kettenkomplexen $$0\to
C_*^{sing}(A;M)\xrightarrow{C_*(j)} C_*^{sing}(X;M) \to C_*^{sing}(X,A;M)\to 0.$$
1.5.4. Definition. Die $n$-te singuläre Homologie des Raumpaares $(X,A)$ mit Koeffizienten in $M$ ist definiert als die Homologie $$H^{sing}_n(X,A;M):= H_n\left(C_*^{sing}(X,A;M),\partial_*\right)$$ des singulären relativen Kettenkomplexes.
1.5.5. Satz. Die singuläre Homologie $H_*^{sing}(-,-;M)$ erfüllt die Eilenberg-Steenrod Axiome. Sie ist eine gewöhnliche, additive Homologietheorie mit Koeffizienten in $M$.
Beweis. Die Funktorialitätseigenschaften folgen unmittelbar aus der Konstruktion. Das Axiom über lange exake Homologiesequenzen ist eine Konsequenz aus 1.4.8.
Das Simplex $\Delta_n$ ist ein zusammenhängender Raum. Entsprechend gilt $S_n\left(\sqcup_{j\in J}X_j\right)=\sqcup_{j\in J}S_n\left(X_j\right)$. Die Konstruktion der singulären Ketten als direkte Summe über $S_n(X)$ führt zur Additivität der singulären Homologie.
Die singuläre Homologie eines einpunktigen Raumes $P$ lässt sich unmittelbar berechnen. Die Moduln $C_n^{sing}(P;M)= M\sigma^n_P$ sind für jedes $n\ge 0$ von der Abbildung $\sigma^n_P\colon \Delta_n\to P$ erzeugt und für $n\lt 0$ jeweils trivial. Die Randabbildung $\partial_n\colon C_n^{sing}(P;M)\to C_{n+1}^{sing}(P;M)$ ist gegeben durch $$\partial_n(\sigma^n_P)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sigma^{n-1}_P=\begin{cases}\sigma_P^{n-1}&\text{ falls } n\in 2\mathbb N\\0&\text{ sonst.}\end{cases}.$$ Daraus folgt das Dimensionsaxiom $$H^{sing}_n(P;M)\cong\begin{cases}M&\text{ falls }n=0, \\0&\text{ sonst.}\end{cases}.$$ Der Nachweis der verbleibenden Axiome ist auf separate Seiten ausgelagert.
qed