3.5. Lie-Ableitung

Es sei \(X\) ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit \(M\) mit zugehörigem Fluss \(\phi\colon \mathbb R_{(0)}\times M\to M\). Für jedes \(m\in M\) gibt es eine offene Umgebung \(U\subset M\) und ein \(\varepsilon\gt 0\), so dass \(\phi_t\colon U\to M, u\mapsto \phi(t,u)\) für alle \(t\in (-\varepsilon ,\varepsilon)\) einen Diffeomeorphismus auf einen offenen Unterraum von \(M\) beschreibt. Für eine \(1\)-Form \(\omega\in \mathcal T^\vee\left(\phi_t(U)\right)\) ist \[\phi_t^*\omega:= \omega\circ \phi_t\in \mathcal T^\vee\left(U\right).\] Insbesondere erhalten wir einen linearen Isomorphismus \[\phi_t^*\colon T^*_{\phi_t(m)}M\to T^*_mM.\] Für ein Vektorfeld \(Y\in \mathcal T\left(U\right)\) mit zugehörigem Fluss \(\psi\colon \mathbb R_{(0)}\times \phi_t(U)\to \phi_t(U)\) definieren wir das Vektorfeld \( \phi_t^*Y:=\phi_{-t,*}Y\in \mathcal T\left(U\right)\) durch den zugehörigen Fluss \[(s,u)\mapsto \phi_{-t}\left(\psi\left(s,\phi_t(u)\right)\right) = \phi_{-t}\circ \psi_s\circ \phi_t (u).\] Mit dieser Definition erhalten wir die Gleichung \[\left(\phi^*_t\omega\right)\left(\phi^*_tY\right)=
\left(\omega (Y)\right)\circ\phi_t=\phi^*_t\left(\omega(Y)\right).\]