In diesem Kapitel besprechen wir die riemannsche Geometrie von Mannigfaltigkeiten. Es bezeichne im Folgenden \((M,\mathcal A)\) eine glatte Mannigfaltigkeit. Wenn nötig, wird die Zugehörigkeit der Garbe \(\mathcal A\) zur Mannigfaltigkeit durch einen Index \(\mathcal A^M\) oder \(\mathcal A_M\) spezifiziert.
Es sei \(A\subset M\) Unterraum einer eine Teilmenge einer glatten Mannigfaltigkeit. Der Raumkeim \(M_{\left(A\right)}\) von \(A\) in \(M\) besteht aus den Umgebungen von \(A\) in \(M\), betrachtet als ein durch Inklusionen partiell geordnetes System von Mengen.
3.0.1. Definition. Unter einer glatten Abbildung von Raumkeimen \[\bar{f}:M_{\left(A\right)}\to N_{\left(B\right)}\] verstehen wir eine Äquivalenzklasse, bestehend aus glatten Abbildungen \(f:U\to V\), wo \(U\) eine Umgebung von \(A\) in \(M\) ist, \(V\) eine Umgebung von \(B\) in der Mannigfaltigkeit \(N\), und für die gilt \(f(A)\subseteq B\). Zwei solche Abbildungen \(f_{1}:U_{1}\to V_{1}\) und \(f_{2}:U_{2}\to V_{2}\) sind äquivalent, wenn es eine Abbildung \(f_{3}:U_{3}\to V_{3}\) gibt, mit \(U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}\) und \(V_{3}\subseteq V_{1}\cap V_{2}\) Umgebungen von \(A\) und \(B\), so dass gilt \(f_{3}=f_{1}\vert_{U_{3}}=f_{2}\vert_{U_{3}}\).
Glatte Abbildungen zwischen Raumkeimen lassen sich komponieren: Werden \(\bar{f}:M_{\left(A\right)}\to M'_{\left(A'\right)}\) und \(\bar{g}:M'_{\left(A'\right)}\to M''_{\left(A''\right)}\) repräsentiert durch Abbildungen \(f:U\to V\) und \(g:V'\to W\), so wird die Komposition \(\bar{g}\circ\bar{f}:M_{\left(A\right)}\to M''_{\left(A''\right)}\) repräsentiert durch die Abbildung\[g\vert_{V\cap V'}\circ f\vert_{f^{-1}(V\cap V')}:f^{-1}(V\cap V')\to W.\] Die Menge der glatten Abbildungen zwischen Raumkeimen bezeichnen wir mit \[\mathcal{C}^{\infty}(M_{\left(A\right)},N_{\left(B\right)}).\] Analog lassen sich auch die Mengen der stetigen Abbildungskeime \(\mathcal{C}^{0}(M_{\left(A\right)},N_{\left(B\right)})\), der analytischen Abbildungskeime \(\mathcal{C}^{an}(M_{\left(A\right)},N_{\left(B\right)})\) und der holomorphen Abbildungskeime \(\mathcal{C}^{hol}(M_{\left(A\right)},N_{\left(B\right)})\) definieren, falls die Mannigfaltigkeiten jeweils mit einer solchen Struktur versehen sind.
3.0.2. Beispiele. Es sei \(m\in M\) ein fixierter Punkt.
- Ein Kurvenkeim in \(m\) ist eine glatte Abbildung \[\bar{c}:\mathbb{R}_{(0)}\to M_{(m)}\]des Raumkeims der Null in der reellen Achse in den Raumkeim des Punktes \(m\) in der Mannigfaltigkeit \(M\). Die Menge der Kurvenkeime in \(m\) bezeichnen wir mit \[
\mathcal {Cur}_{M,(m)}:=\mathcal C^\infty\left(\mathbb R_{(0)},M_{(m)}\right).\] - Ein Funktionskeim in m ist eine glatte Abbildung \[\bar{f}:M_{\left(m\right)}\to\mathbb{R_{\left(R\right)}}=\mathbb{R}.\] Die Menge aller solcher Funktionskeime bilden den Halm \(\mathcal A^M_{(m)}\) im Punkte \(m\) der Strukturgarbe \(\mathcal A^M\). Addition und Multiplikation von reellwertigen Funktionen induzieren auf \[\mathcal A^M_{(m)}=\mathcal{C}^{\infty}(M_{\left(m\right)},\mathbb{R})\] die Struktur einer reellen Algebra. Die Teilmenge \[\mathcal I^M_{(m)}:=\mathcal C^\infty\left(M_{(m)},\mathbb R_{(0)}\right)\] der im Punkte \(m\) verschwindenden Funktionskeime bildet ein maximales Ideal in \(\mathcal A^M_{(m)}\), denn jeder Funktionskeim in \(\mathcal A^M_{(m)}\setminus \mathcal I^M_{(m)}\) nimmt in einer Umgebung von \(m\) die Null nicht an. Ein solcher Funktionskeim ist also eine Einheit im Ring \(\mathcal A^M_{(m)}\). Die Auswertung \[\bar{f}\mapsto f(m)\] von Funktionskeimen im Punkte \(m\) definiert einen surjektiven Ringhomomorphismus \[\mathrm{ev}_m\colon \mathcal A^M_{(m)}\to \mathbb R\] mit Kern \(\mathcal I_m\) und damit eine Isomorphismus des Restklassenrings \(\mathcal A^M_{(m)}/\mathcal I^M_{(m)}\cong \mathbb R\).
- Ein Kartenkeim in \(m\) ist eine glatte Abbildung \(\bar{x}:M_{\left(m\right)}\to\mathbb{R}_{\left(0\right)}^{n}\), die durch eine Kartenabbildung repräsentiert wird.