6.5.5. Satz über Lagrange-Multiplikatoren. Es sei $X\subset \mathbb R^n$ eine offene Teilmenge und $M\subset X$ sei die Nullstellenmenge einer stetig differenzierbaren Funktion $h=\left(h^1,\ldots,h^r\right)\colon X\to \mathbb R^r$, so dass für den Rang der Ableitung an jedem Punkt $m\in M$ gilt $\mathrm{rg}\left(\partial h(m)\right)=r$. Außerdem sei $f\colon X\to \mathbb R$ eine stetig differenzierbare Funktion. Nimmt die auf $M$ eingeschränkte Funktion $f|M$ in $m_0\in M$ ein lokales Extremum an, so ist die Ableitung $$d f(m_0)=\sum_{k=1}^r \lambda_kdh^k(m_0)$$ von $f$ im Punkte $m_0$ eine Linearkombination der Ableitungen der Funktionen $h^k$. Äquivalent ist der Gradient von $f$ eine Linearkombination $$\nabla f(m_0)=\sum_{k=1}^r\lambda_k\nabla h^k(m_0), \quad \lambda_k\in \mathbb R$$ der Gradienten der Funktionen $h^k$.
Bezeichnungen.
- Man sagt, der Punkt $m_0$ sei ein lokales Extremum von $f$ unter den Nebenbedingungen $h^1=\ldots=h^r=0$.
- Die Koeffizienten $\lambda_k$ werden Lagrangsche Multiplikatoren genannt.
Beweis. Die Rangbedingung impliziert, dass wir unter den $n$ Koordinaten eine Teilmenge von $r$ Koordinaten auswählen können, so dass im Punkte $m_0$ die Ableitung von $h$ nach diesen Koordinaten, bezeichnen wir sie mal mit $y^1,\ldots, y^r$, eine invertierbare lineare Abbildung $D_yh(m_0)\in \mathcal Lis(\mathbb R^r,\mathbb R^r)$ beschreibt. Bezeichnen wir die verbliebenen $k=n-r$ Koordinaten mit $x^1,\ldots,x^k$, so beschreibt der Satz über implizite Funktionen die Menge $M$ in der Nähe des Punktes $m_0=(x_0,y_0)$ als Graph einer Funktion $g\colon V\to \mathbb R^r$. Dabei ist $V\subset \mathbb R^k$ eine offene Umgebung von $x_0$. Es bezeichne $$G\colon V\to M, x\mapsto (x,g(x)).$$ Die lineare Abbildung $\partial G(x_0)$ ist injektiv, die lineare Abbildung $\partial h(m_0)$ surjektiv. Der Dimensionssatz der linearen Algebra liefert $$\dim\ker\partial h(m_0)=k=\dim\mathrm{img}\,\partial G(x_0).$$ Die Kettenregel, angewandt auf die Gleichung $h\circ G=0$ liefert $\mathrm{img}\,\partial G(x_0)\subset \ker\partial h(m_0)$ und wegen Dimensionsgleichheit sogar $$\mathrm{img}\,\partial G(x_0) = \ker\partial h(m_0).$$ Die Funktion $f\circ G$ besitzt in $x_0$ ein lokales Extremum. Folglich gilt $d(f\circ G)(x_0)=df(m_0)\partial G(x_0)=0$ und damit $$\ker df(m_0)\supset \mathrm{img}\,\partial G(x_0)=\ker \partial h(m_0)=\cap_{k=1}^r \ker dh^k(m_0).$$ Die Aussage des Satzes folgt.
qed
Definition. Eine Teilmenge $M\subset \mathbb R^n$ heißt $k$-dimensionale $\mathcal C^q$-Untermannigfaltigkeit von $\mathbb R^n$, falls es zu jedem Punkt $m\in M$ eine offene Umgebung $U_m\subset \mathbb R^n$, sowie eine Funktion $h_m\in \mathcal C^q(U_m,\mathbb R^{n-k})$ gibt mit $M\cap U_m= h_m^{-1}(0)$, so dass für alle $x\in M\cap U_m$ gilt $\mathrm{rg}\left(\partial h_m(x)\right)=n-k.$