6.4.7. Satz von Taylor für reellwertige Funktionen. Es sei $f\colon X\to \mathbb R$ eine $q+1$-mal stetig differenzierbare Funktion, $x\in X$ und $h\in E$ gegeben. Es gelte $\{x+th\mid t\in [0,1]\}\subset X$. Dann gilt $$f(x+h)=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\partial^k f(x)h^k+ \frac1{(q+1)!}\partial^{q+1}f(x+t_0h)h^{q+1}$$ für ein $t_0\in [0,1]$.
Die Hauptschwierigkeit in diesem Satz ist es, die Symbole richtig zu interpretieren. Die $k$-te Ableitung $\partial^k f(x)\in \mathcal L(E,\ldots,E;\mathbb R)$ ist eine $k$-lineare Abbildung des $k$-fachen Produkts $E\times\ldots\times E$ nach $\mathbb R$. Die Schreibweise $\partial^k f(x)h^k$ besagt, dass diese $k$-lineare Abbildung ausgewertet wird an dem Tupel $$(\underbrace{h,\ldots,h}_{k-\text{mal}}).$$ Anders ausgedrückt, wenden wir $k$-mal die Richtungsableitung $D_h$ in Richtung des Vektors $h$ an $$\partial^k f(x)h^k = \underbrace{D_h\ldots D_h}_{k-\text{mal}}f(x).$$
Beweis. Wir betrachten die Abbildung $\phi\colon [0,1]\to X, t\mapsto x+th$. Die Abbildung $g=f\circ \phi\colon [0,1]\to\mathbb R$ ist $(q+1)$-mal stetig differenzierbar. Anwendung der Kettenregel liefert $$g'(0)=\partial f(\phi(0))\cdot \phi'(0)=\partial f(x)h=D_vf(x).$$ Iteriert, erhält man $$g^{(k)}(0)= \underbrace{D_h\ldots D_h}_{k-\text{mal}}f(x)=\partial^k f(x)h^k.$$ Mit diesen Bemerkungen erweist sich der obige Satz 6.4.7 als eine simple Reformulierung des Satzes über die Taylorentwicklung 3.4.2. aus dem vergangenen Semester.
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Manchmal ist man nur an qualitativen Aussagen interessiert. Dann erweist sich die folgende Variante des Satzes von Taylor als hilfreich:
6.4.8. Korollar. Es sei $f\colon X\to \mathbb R$ eine $q$-mal stetig differenzierbare Funktion, $x\in X$ und $h\in E$ gegeben. Dann gilt $$f(x+h)=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\partial^kf(x)h^k+R_q(f,x;h)$$ mit $\lim_{\|h\|\to 0}\frac{R_q(f,x;h)}{\|h\|^q}=0.$
Beweis. Es ist $$R_q(f,x;h)= \frac1{(q)!}\left(\partial^{q}f(x+t_0h)-\partial^qf(x)\right)h^{q}.$$ Wegen der Stetigkeit der $q$-ten Ableitung gilt $$\lim_{\|h\|\to 0}\left\|\partial^{q}f(x+t_0h)-\partial^qf(x)\right\|=0.$$ qed
Als komprimierte Schreibweise hat sich folgende Konvention (das Landau-Symbol Klein-o) eingebürgert:
Definition. Es seien $E,F$ normierte Vektorräume, $U\subset E$ eine Umgebung der Null, sowie $R\colon U\to F$ eine Funktion. Man sagt, die Funktion $R$ verschwinde von Ordnung mindestens $f(h)$, und schreibt $$R(h)=o(f(h)),$$ wenn $f: U\to \mathbb R_{\gt 0}$ eine weitere Funktion ist, für welche gilt $$\lim_{\|h\|\to 0}\frac{\|R(h)\|}{f(h)}=0.$$
Mit dieser Konvention schreibt sich die Taylorformel aus 6.4.8 prägnant: $$f(x+h)=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\partial^kf(x)h^k+o(\|h\|^q).$$
Bemerkungen.
- Ist $F$ ein Banachraum, und $f\in \mathcal C^q(X,F)$, so gilt die gleiche Taylorformel $$f(x+h)=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\partial^kf(x)h^k+o(\|h\|^q).$$ Wir werden dies an dieser Stelle nicht beweisen.
- Ist $E=\mathbb R^n$, so können wir die Taylorsche Formel auch in Koordinaten schreiben. Es sei $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in \mathbb N_0^n$ ein Multiindex der Länge $|\alpha|=\sum_{j=1}^n\alpha_j$ und $f\in \mathcal C^{|\alpha|}(X,\mathbb R)$. Dann schreiben wir kurz $$\partial^\alpha f:=\partial^{\alpha_1}_1\partial^{\alpha_2}_2\cdots\partial^{\alpha_n}_nf=
\frac{\partial^{|\alpha|}f}{(\partial x^1)^{\alpha_1} (\partial x^2)^{\alpha_2}\cdots (\partial x^n)^{\alpha_n} },$$ mit der Konvention $\partial^0f=f$. Für einen Vektor $h=\sum_{j=1}^nh_je_j\in \mathbb R^n$ definieren wir $$h^\alpha:=\prod_{j=1}^nh_j^{\alpha_j}.$$ Außerdem definieren wir $$\alpha!:=\prod_{j=1}^n \alpha_j!.$$ Die Taylorsche Formel liest sich dann wie folgt: $$
f(x+h)=\sum_{|\alpha|\le q}\frac{\partial^\alpha f(x)}{\alpha!}h^\alpha+\sum_{|\alpha|=q+1}\frac{\partial^\alpha f(x+t_0h)}{\alpha!}h^\alpha.
$$ Zur Begründung betrachten wir den Term \begin{aligned}
\partial^k f(x)h^k&
= \partial^k f(x)\left(
\sum_{j_1=1}^nh_{j_1}e_{j_1},\ldots,\sum_{j_k=1}^nh_{j_k}e_{j_k}
\right) \\
&= \sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_k=1}^n\partial^kf(x)\big(e_{j_1},\ldots,e_{j_k}\big)h_{j_1}\cdots h_{j_k}
\end{aligned} für $k\le q$. Die Anzahl der $k$-Tupel von Zahlen $1\le j_i \le n$, bei denen jede der Zahlen in $\ell\in\{1,\ldots,n\}$ genau $\alpha_\ell$-mal vorkommt, ist gleich $$\frac{k!}{(\alpha_1)!(\alpha_2)!\cdots(\alpha_n)!}=\frac{k!}{\alpha!}.$$ Mit den obigen Konventionen für die höheren partiellen Ableitungen für alle derartigen Tupel gilt $$\partial^kf(x)\big(e_{j_1},\ldots,e_{j_k}\big)=\partial_1^{\alpha_1}\partial_2^{\alpha_2}\cdots \partial_n^{\alpha_n}f(x)=\partial^\alpha f(x).$$
Definition. Die Darstellungsmatrix der Bilinearform $\partial^2f(x):\mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R$ bezüglich der Standardvektoren des $\mathbb R^n$ heißt Hessesche Matrix $$H_f(x):=\left(\partial_j\partial_kf(x)\right)\in \mathbb R^{n\times n}_{sym}.$$
Die Taylorformel für $2$-mal stetig differenzierbare Funktionen auf dem $\mathbb R^n$ lässt sich also darstellen in der Form \begin{aligned}f(x+h)&=f(x)+ df(x)h+\frac12\partial^2f(x)h^2+R_2(f,x;h)\\
&= f(x)+ \langle \nabla f,h\rangle+\frac12 \langle H_fh,h\rangle +o(\|h\|^2).\end{aligned}
Definition. Es sei $H$ ein endlich dimensionaler reeller Hilbertraum. Eine symmetrische Bilinearform $b\in \mathcal L^2_{sym}(H,\mathbb R)$ heißt positiv oder negativ definit, bzw. positiv oder negativ semidefinit, wenn für alle $h\in H\setminus \{0\}$ gilt $$b(h,h)\gt 0\;\text{ oder }\; b(h,h)\lt 0, \quad\text{ bzw. }\quad b(h,h)\ge 0\;\text{ oder }\; b(h,h)\le 0.$$ Trifft keine dieser Bedingungen zu, so heißt $b$ indefinit.
Erinnnerung an Resultate der linearen Algebra.
- Zu einer symmetrischen Bilinearform ist durch die Vorschrift $$\langle Bh_1, h_2\rangle:=b(h_1,h_2 )\quad\text{für alle}\quad h_1,h_2\in H$$ ein eindeutig bestimmter Endomorphismus $B\in \mathcal L(H,H)$ assoziiert. Dieser ist selbst-adjungiert, d.h. es gilt $\langle Bh_1,h_2\rangle = \langle h_1,Bh_2\rangle$ für alle $h_1,h_2\in H$.
- Bezüglich einer beliebigen Basis von $H$ wird ein solcher selbst-adjungierter Endomorphismus durch eine symmetrische Matrix repräsentiert.
- Der Hilbertraum $H$ besitzt eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von $B$. Die zugehörigen Eigenwerte sind reell. Bezüglich einer solchen ONB von Eigenvektoren wird $B$ durch eine Diagonalmatrix $\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ beschrieben. Hier sind die $\lambda_j$ die Eigenwerte von $B$.
- Die Bilinearform ist genau dann positiv definit (bzw. semi-definit), wenn alle Eigenwerte positiv (bzw. nicht-negativ) sind.
6.4.9. Korollar. Es sei $X\subset \mathbb R^n$ eine offene Teilmenge, und $x_0\in X$ ein kritischer Punkt einer Funktion $f\in\mathcal C^2(X,\mathbb R)$. Dann gilt:
Beweis.
- Ist $x_0$ ein kritischer Punkt von $f$, so gilt für $h\in \mathbb R^n$ nach der Taylorformel $$f(x_0+h)=f(x_0)+\frac12\partial^2 f(x_0)h^2+o(\|h\|^2).$$ Ist $\partial^2f(x_0)$ positiv definit, so gibt es ein $\alpha\gt 0$ mit $$\partial^2f(x_0)h^2\ge \alpha\|h\|^2, h\in \mathbb R^n.$$ Sei $\delta\gt 0$ derart gewählt, dass gilt $\|o(\|h\|^2)\|\le \frac{\alpha\|h\|^2}4$ für $\|h\|\lt \delta$, so erhalten wir die Abschätzung $$f(x_0+h)\ge f(x_0)+\frac{\alpha}2\|h\|^2-\frac{\alpha}4\|h\|^2=f(x_0)+\frac{\alpha}4\|h\|^2$$ für $\|h\|\lt\delta$. Also ist $x_0$ ein lokales Minimum von $f$.
- Folgt durch Anwenden von $i.$ auf die Funktion $-f$.
- Ist $\partial^2f(x_0)$ indefinit, so gibt es $v,w\in \mathbb R^n$ mit $$\alpha:=\partial^2f(x_0)v^2 \gt 0\quad\text{ und } \beta:= \partial^2f(x_0)w^2 \lt 0.$$ Außerdem finden wir ein $t\gt 0$, so dass die Strecken voon $x_0$ nach $x_0+tv$ und nach $x_0+tw$ jeweils ganz in $X$ liegen und außerdem gilt $$\frac{\alpha}2+\frac{o(\tau^2\|v\|^2)}{\tau^2\|v\|^2}\|v\|^2 \gt 0 \quad\text{ und } \frac{\beta}2+\frac{o(\tau^2\|w\|^2)}{\tau^2\|w\|^2}\|w\|^2 \lt 0$$ für alle $\tau$ mit $0\lt \tau\lt t$. Somit folgen $$f(x_0+\tau v)= f(x_0)+\tau^2\left(\frac{\alpha}2 +\frac{o(\tau^2\|v\|^2)}{\tau^2\|v\|^2}\|v\|^2\right) \gt f(x_0)$$ für alle $0\lt \tau\lt t$, sowie $$f(x_0+\tau w)= f(x_0)+\tau^2\left(\frac{\beta}2 +\frac{o(\tau^2\|w\|^2)}{\tau^2\|w\|^2}\|w\|^2\right) \lt f(x_0).$$
qed