6.4.10. Proposition. Für $\phi\in \mathcal L(E_1,\ldots,E_n;F)$ gilt $\phi\in \mathcal C^\infty(E_1\times\cdots\times E_n,F)$ und $\partial^{n+1}\phi=0$.
Beweis. Wir berechnen induktiv die $k$-te Ableitung an der Stelle $(x_1,\ldots,x_n)$. Dazu brauchen wir etwas Notation. Für eine Teilmenge $K=\{\kappa_1\lt \ldots\lt \kappa_k\}\subset\{1,\ldots,n\}$ bezeichne $$\overline{K}=\{\overline{\kappa}_{1}\lt \ldots \lt \overline{\kappa}_{n-k}\}:=\{1,\ldots,n\}\setminus K$$ das Komplement. Fixieren wir die Einträge $x_{\overline{\kappa}_1},\ldots,x_{\overline{\kappa}_{n-k}}$ in der Abbildung $\phi$, so erhalten wir eine $k$-lineare Abbildung $\phi(x_{\overline{K}})\in \mathcal L(E_{\kappa_1},\ldots,E_{\kappa_k};F)$. Wir zeigen induktiv $$\partial^k\phi(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{|K|=k}k!\phi(x_{\overline{K}}).$$ Der Induktionsanfang $k=1$ war Proposition 6.4.3. Im Induktionsschluss von $k$ auf $k+1$ betrachten wir die Ableitung der Funktion $$(x_{\overline{\kappa}_1},\ldots,x_{\overline{\kappa}_k})\mapsto \phi(x_{\overline{K}}).$$ Dies ist eine $(n-k)$-lineare Funktion mit Werten im Banachraum $F'= L(E_{\kappa_1},\ldots,E_{\kappa_k};F)$, auf die wir Proposition 6.4.3 anwenden können. Die Ableitung von $ \phi(x_{\overline{K}})$ ist die Summe der linearen Operatoren, die wir erhalten, indem wir jeweils alle bis auf einen der Einträge $x_{\overline{\kappa}_1},\ldots,x_{\overline{\kappa}_k}$ fixieren. Insgesamt erhalten wir für die $(k+1)$-te Ableitung von $\phi$ also eine Summe der Form $$ \partial^{k+1}\phi(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{|K'|=k+1}\lambda_{K'}k!\phi(x_{\overline{K‘}}).$$ Um den Koeffizienten $\lambda_{K'}$ zu bestimmen, müssen wir uns überlegen, dass ein Summand der Form $\phi(x_{\overline{K‘}})$ jeweils genau einmal in der Ableitung eines Summanden $\phi(x_{\overline{K}})$ mit $K\subset K'$ vorkommt. Es gibt für jedes $K'$ aber genau $(k+1)$ jeweils $k$-elementige Untermengen $K$. Somit gilt $\lambda_{K'}=k+1$.
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Die Kettenregel gilt auch für höhere Ableitungen. Allerdings sind die formelmäßigen Darstellungen etwas komplizierter.
6.4.11. Satz. Es seien $E,F,G$ jeweils Banachräume, $X\subset E$ und $Y\subset F$ jeweils offen, $g\in \mathcal C^q(X,F)$ und $f\in \mathcal C^q(Y,G)$ und es gelte $g(X)\subset Y$. Dann gilt $f\circ g\in \mathcal C^q(X,G)$.
Beweis. Induktiv ist zu beweisen, dass sich die $q$-te Ableitung an der Stelle $x$ berechnet als Summe von Termen, die sich wie folgt zusammensetzen: Die $k$-linearen Ableitungen $\partial^kf(g(x))$ mit $k\le q$ an der Stelle $g(x)$ werden jeweils ausgewertet an $k$ Vektoren der Form $\partial^{j_i}g(x), j_1,\ldots, j_k$ mit $j_i\le q$. Dies folgt aber aus der Kettenregel, zusammen mit der verallgemeinerten Produktregel 6.4.4. Man beachte, dass die Auswertungsabbildung $$\mathcal L(E,F)\times E\to F;\quad (\phi,v)\mapsto \phi v $$ selbst eine bilineare Abbildung in $\mathcal L(\mathcal L(E,F),E;F)$ ist.
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