Definition. Es seien $E,F$ Banachräume, $X\subset E$ offen, und $J\subset \mathbb R$ ein Intervall. Eine Funktion $f\in \mathcal C(J\times X,F)$ heißt lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x\in X$, wenn es zu jedem $(t_0,x_0)\in J\times X$ eine Umgebung $U\times V$ von $(t_0,x_0)$ und ein $L\ge 0$ gibt mit $$\|f(t,x)-f(t,y)\|\le L\|x-y\|\quad\text{ für } t\in U, x,y\in V.$$ Die Menge aller bezüglich $x\in X$ lokal Lipschitz-stetigen Funktionen wird mit $\mathcal C^{0,1-}(J\times X,F)$ bezeichnet.
Bemerkung. Es gelte $f\in \mathcal C(J\times X,F)$ und für jedes $t\in J$ gelte $f(t,\,.\,)\in \mathcal C^1(X,F)$. Ist dann $D_2f\in \mathcal C(J\times X,F)$, so gilt $f\in \mathcal C^{0,1-}(J\times X,F)$. Denn wegen der Stetigkeit von $D_2f$ gibt es zu $\varepsilon =1$ eine Umgebung $U\times V$ von $(t_0,x_0)$ in $J\times X$ mit $$\|D_2f(t,x)-D_2(t_0,x_0)\|\lt 1\quad \text{ für }(t,x)\in U\times V.$$ Aus dem Mittelwertsatz folgt für $(t,x),(t,y)\in U\times V$ die Abschätzung $$\|f(t,x)-f(t,y)\|\le \sup_{0\le \tau\le 1}\|D_2f\left(t,x+\tau(y-x)\right)\|\,\|x-y\|\le \left(1+\|D_2f(t_0,x_0)\|\right)\|x-y\|=L\|x-y\|.$$
7.3.1. Satz. Es sei $D$ eine offene Teilmenge des Banachraums $E$ und $f\in \mathcal C^{0,1-}(J\times D,E)$. Sind $u\colon J_u\to D$ und $v\colon J_v\to D$ Lösungen der Differentialgleichung $\dot{x}=f(t,x)$ zum gleichen Anfangswert $u(t_0)=v(t_0)$, so gilt $u(t)=v(t)$ für alle $t\in J_u\cap J_v$.
Beweis. Es bezeichne $I=\{t\in J_u\cap J_v\mid u(t)=v(t)\}$. Wegen $t_0\in I$ ist dies keine leere Menge. Die Teilmenge $I$ ist das Urbild der Null unter der stetigen Abbildung $$J_u\cap J_v\to F, \quad t\mapsto u(t)-v(t).$$ Insbesondere ist $I$ abgeschlossen als Teilmenge des Intervalls $J_u\cap J_v$. Da $J_u\cap J_v$ zusammenhängend ist, reicht es zu zeigen, dass $I$ auch offen ist als Teilmenge dieses Intervalls. Sei dazu $s\in I$ gegeben. Dann existiert nach Voraussetzung eine offene Umgebung $U\times V$ von $(s,u(s))$ in $J\times D$, sowie eine Lipschitz-Konstante $L$ mit $$\|f(t,u(t))-f(t,v(t))\| \le L\|u(t)-v(t)\| \quad \text{ für } t\in U.$$ Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhalten wir für $t\in U$ die Gleichung $$w(t)=u(t)-v(t)=\int_s^t \left(\dot{u}(\tau)-\dot{v}(\tau)\right)d\tau=\int_s^t\left(f(\tau,u(\tau))-f(\tau,v(\tau))\right)d\tau$$ und vermittels der Lipschitz-Stetigkeit die Abschätzung $$\|w(t)\|\le L\left|\int_s^t\|w(\tau)\|d\tau\right|.$$ Das Gronwallsche Lemma impliziert $w(t)=0$ für $t\in U$.
qed