Schnitte des Tangentialbündels heißen Vektorfelder. Es bezeichne $e_{i}\in\mathbb{R}^{n}$ den $i$-ten Einheitsvektor. Ist $x:U\to\mathbb{R}^{n}$ eine Kartenabbildung mit Koordinatenfunktionen $x^{i}:U\to\mathbb{R}$ für $1\le i\le n$, so werden die lokal in der Kartenumgebung $U$ definierten Schnitte \[
m\mapsto\left(m,e_{i}\right)\in U\times\mathbb{R}^{n}
\] des Tangentialbündels in der durch $x$ bestimmten Kartenumgebung von $TM$ üblicherweise mit \[
\frac{\partial}{\partial x^{i}}
\] bezeichnet. Ist $\widetilde{x}$ eine weitere Kartenabbildung, so wird die Kartenwechselabbildung beschrieben durch die Formel \[
\frac{\partial}{\partial x^{i}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial\widetilde{x}^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial}{\partial\widetilde{x}^{j}}.
\] Hier beschreibt \[
\frac{\partial\widetilde{x}^{j}}{\partial x^{i}}=\left(D\left(\widetilde{x}\circ x^{-1}\right)\right)_{i}^{j}
\] den entsprechenden Eintrag in der Jakobischen Matrix der Kartenwechselabbildung.
Ein allgemeines Vektorfeld $v\in\Gamma\left(TM\right)$ ist lokal in der durch $x$ beschriebenen Karte eine Linearkombination dieser lokal definierten Basisvektorfelder \[
v=\sum_{j=1}^n v^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}.
\] Beschreibt man das gegebene Vektorfeld bezüglich einer anderen Karte \[
v=\sum_{i=1}^n\widetilde{v}^{i}\frac{\partial}{\partial\widetilde{x}^{i}},
\] so gilt mit \begin{eqnarray*}
\delta_{j}^{k} & = \sum_{i=1}^n \frac{\partial\widetilde{x}^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{i}}{\partial\widetilde{x}^{k}}=\begin{cases}
1 & \text{für }j=k\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\end{eqnarray*} wegen der Kettenregel die Gleichung \[
\sum_{j=1}^nv^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}=\sum_{j,k=1}^n v^{j}\delta_{j}^{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}=\sum_{i,j,k=1}^n v^{j}\frac{\partial\widetilde{x}^{i}}{\partial x^{j}}\frac{\partial x^{k}}{\partial\widetilde{x}^{i}}\frac{\partial}{\partial x^{k}}=\sum_{i,j=1}^n v^{j}\frac{\partial\widetilde{x}^{i}}{\partial x^{j}}\frac{\partial}{\partial\widetilde{x}^{i}}.
\] Die Koeffizientenfunktionen des Vektorfelds $v$ haben also das Transformationsverhalten \[
\widetilde{v}^{i}=\sum_{j=1}^nv^{j}\frac{\partial\widetilde{x}^{i}}{\partial x^{j}}.
\]