In diesem Abschnitt bezeichnet $H_*(-)=H_*^{sing}(-;\mathbb Z)$ singuläre Homologie mit ganzzahligen Koeffizienten. Wir fixieren einen Erzeuger $[S^1]\in H_1(S^1)\cong H_1(S^1,1)\cong \mathbb Z$.
1.5.17. Satz. Für einen wegweise zusammenhängenden Raum $X$ mit Grundpunkt $\ast$ ist die Hurewicz-Abbildung $$\begin{aligned}h\colon \pi_1(X,\ast)&\to H_1(X,\ast)\\
\left(w\colon (S^1,1)\to (X,\ast)\right)&\mapsto H_1(w)\left([S^1]\right)\end{aligned}$$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Der Kern von $h$ ist die Kommutatoruntergruppe $$\ker h=\left[ \pi_1(X,\ast), \pi_1(X,\ast)\right].$$
Beweis, der Reihe nach, eine Aussage nach der anderen.
- $h$ ist ein Homomorphismus. Es bezeichne $S^1\vee S^1$ die Einpunktvereinigung zweier Kreise, d.h. das Pushout $$\begin{matrix}\{1\}&\xrightarrow{\subset}&S^1\\ {\scriptstyle{\cap}}\downarrow\phantom{\scriptstyle{\cap}}&& {\scriptstyle{i_1}} \downarrow\phantom{ {\scriptstyle{i_1}} }\\ S^1&\xrightarrow[i_2]{}&S^1\vee S^1.\end{matrix}$$ Dieses Pushout kommt mit zwei Projektionen $p_j\colon S^1\vee S^1\to S^1$, welche charakterisiert sind durch $p_j\circ i_j=\mathrm{id}_{S^1}$ für $j\in\{1,2\}$ und $p_j\circ i_k$ konstant für $j\not=k$. Nach 1.3.2 beschreibt die Abbildung $$H_1(i_1\sqcup i_2)\colon H_1(S^1,1)\oplus H_1(S^1,1)\to H_1(S^1\vee S^1,*)$$ einen Isomorphismus. Mit $[S^1]_j:=H_1(i_j)[S^1]$ erhalten wir also explizite Erzeuger der Gruppe $H_1(S^1\vee S^1,*)\cong \left(\mathbb Z \cdot [S^1]_1\right)\oplus \left(\mathbb Z \cdot [S^1]_2\right).$ Wir betrachten die Koprodukt-Abbildung $$\nabla\colon S^1\to S^1\vee S^1, \quad e^{2\pi it}\mapsto\begin{cases}i_1\left(e^{4\pi it}\right)&0\le t\le \frac12\\ i_2\left(e^{4\pi it}\right)&\frac12\le t\le 1.\end{cases}$$ Die Komposition $p_1\circ \nabla:S^1\to S^1$ ist homotop zur Identität vermittels $$h_s\colon e^{2\pi it} \mapsto \begin{cases}e^{2\pi i(1+s)t}&0\le t \le\frac1{1+s}\\1&\text{sonst.}\end{cases}$$ Analog ist auch $p_2\circ \nabla$ homotop zur Identität. Insbesondere erhalten wir $$\nabla_*\left([S^1]\right)=[S^1]_1+[S^1]_2\in H_1(S^1\vee S^1,*).$$ Sind $w_j\colon (S^1,1)\to (X,*)$ geschlossene Wege in $X$, so beschreibt die Abbildung $$w_1\ast w_2\colon S^1\xrightarrow{\nabla}S^1\vee S^1\xrightarrow{w_1\vee w_2}X$$ das Produkt $[w_2]\cdot [w_1]$ in der Fundamentalgruppe $\pi_1(X,*)$. Aus der Gleichungskette $$\begin{aligned}h\left([w_2]\cdot [w_1]\right) &=H_1(w_1\ast w_2)[S^1]\\
&=\left(H_1(w_1\vee w_2)\circ H_1(\nabla)\right)[S^1]\\
&=H_1(w_1\vee w_2)\left([S^1]_1+[S^1]_2\right)\\
&=H_1(w_1\vee w_2)\left(H_1(i_1)[S^1]\right)+H_1(w_1\vee w_2)\left(H_1(i_2)[S^1]\right)\\
&=H_1(w_1\vee w_2\circ i_1)[S^1]+H_1(w_1\vee w_2\circ i_2)[S^1]\\
&=H_1(w_1)[S^1]+H_1(w_2)[S^1]\\
&=h\left([w_1]\right)+h\left([w_2]\right)\end{aligned}$$ folgern wir, dass $h$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Da $H_1(X.*)$ abelsch ist, ist die Kommutatorgruppe $\left[ \pi_1(X,\ast), \pi_1(X,\ast)\right]$ notwendig im Kern von $h$ enthalten. - Wege und $1$-Simplizes. Zum Verständnis der Hurewicz-Abbildung müssen wir uns die Komposition von Wegen und die Addition von $1$-Simplizes genauer ansehen. Vermöge der Identifikation $$I:=[0,1]\xrightarrow{\cong} \Delta_1;\quad t\mapsto \left((1-t),t\right)$$ kann ein Weg $w\colon I\to X$ als ein singuläres $1$-Simplex $$\sigma_w\colon \Delta_1\to X,\quad (t_0,t_1)\mapsto w(t_1)$$ betrachtet werden. Wir schreiben kurz $w\colon x_0\to x_1$, wenn gilt $x_0=w(0)$ und $x_1=w(1)$. Das Simplex $\sigma_{(w^-)}$ des rückwärts durchlaufenen Weges $w^-$, das heißt $w^-(t)=w(1-t)$, ist homolog zu $\left(-\sigma_w\right)$, im Zeichen $$\sigma_{(w^-)}\sim -\sigma_w.$$ Bezeichnet nämlich $\xi^n_0\colon \Delta_n\to X$ das konstante Simplex $\xi_0^n(\Delta_n)=x_0$ und $\omega_w$ das $2$-Simplex $$\omega_w\colon \Delta_2\to X,\quad (t_0,t_1,t_2)\mapsto w(t_1),$$ so gilt $$\partial\left(\omega_w+\xi^2_0\right)=\left(\sigma_{(w^-)}-\xi^1_0+\sigma_{w}\right)+\left(\xi^1_0-\xi^1_0+\xi^1_0\right)=
\sigma_{(w^-)}+\sigma_{w}.$$ Ist $v\colon I\to X$ ein weiterer Weg mit $v(1)=x_0=w(0)$, so ist die Komposition der Wege $$v\ast w(t)=\begin{cases} v(2t)&0\le t\le \frac12\\ w(2t-1)& \frac12\le t\le 1.\end{cases}$$ Das zugehörige $1$-Simplex $\sigma_{v\ast w}$ ist homolog zur Summe $\sigma_v+\sigma_w$. Für das $2$-Simplex $$\mu\colon \Delta_2\to X,\quad (t_0,t_1,t_2)\mapsto v\ast w\left(t_2+\frac{t_1}2\right)$$ gilt nämlich $$\partial \mu=\sigma_w-\sigma_{v\ast w}+\sigma_v.$$ Für jedes $x\in X$ sei im Folgenden ein stetiger Weg $u_x\colon *\to x$ in $X$ mit $u_*$ konstant gewählt. - $h$ ist surjektiv. Die Homologieklasse $a\in H_1(X)$ werde repräsentiert durch den Zykel $z=\sum r_i\tau_i\in C^{sing}_1(X)$ mit $r_i\in Z$ und singulären $1$-Simplizes $\tau_i\colon \Delta_1\to X$. Wir betrachten die geschlossenen Wege $$w_i=u_{\tau_i(0)}\ast\left(\tau_i\ast u^-_{\tau_i(1)}\right)\colon *\to *$$ und deren Produkt $$w=w_1^{r_1}\ast\left(w_2^{r_2}\ast\left(w_3^{r_3}\ldots\right)\right).$$ Das Bild $h\left([w]\right)$ wird repräsentiert durch den Zykel $$\begin{aligned}\sigma_w&\sim \sum_i r_i\sigma_{w_i}
\sim \sum_i r_i\left(\sigma_{u_{\tau_i(0)}}+\tau_i+\sigma_{u_{\tau_i}^-(1)}\right)\\
&\sim \left(\sum_i r_i\tau_i\right)+\sum_i r_i\left(\sigma_{u_{\tau_i(0)}}-\sigma_{u_{\tau_i(1)}}\right)\sim \sum_i r_i\tau_i.\end{aligned}$$ Die zweite Summe unten verschwindet wegen der Zykeleigenschaft $$0=\partial z=\sum_i\partial r_i\tau_i=\sum_i r_i\left(\tau_i(1)-\tau_i(0)\right).$$ - $\ker h$ ist die Kommutatorgruppe. Es sei $w\colon (S^1,1)\to (X,*)$ Repräsentant eines Elementes $[w]\in \ker h\subset \pi_1(X,*)$. Dies bedeutet, dass das $1$-Simplex $\sigma_w\colon \Delta_1\cong I \to X$, definiert durch $t\mapsto w\left({e^{2\pi it}}\right)$, Rand einer singulären $2$-Kette $k=\sum_ir_i\tau_i$ ist, $\sigma_w=\partial k$. Es gilt $$\partial\tau_i=\tau_i\circ\iota_0^2-\tau_i\circ\iota_1^2+\tau_i\circ\iota_2^2=\rho_{i,0}-\rho_{i,1}+\rho_{i,2}.$$ Wir setzen $$v_{i,k}:=u_{\rho_{i,k}(0)}*\rho_{i,k}*u^-_{\rho_{i,k}(1)}\quad \text{ und }\quad v_i:=v_{i,0}*v^-_{i,1}*v_{i,2}.$$ Die geschlossenen Wege $v_i\colon (S^1,1)\to (X,*)$ sind, wie man sich leicht überzeugt, kontraktibel relativ des Basispunktes, insbesondere gilt $\Pi_{i}[v_i]^{r_i}=1\in \pi_1(X,*)$.
Es sei kurz $\pi:=\pi_1(X,*)$ und $\mathrm{pr}\colon\pi\to \pi/[\pi,\pi]$ die Projektion auf die Abelisierung. Dann gilt $$0=\mathrm{pr}\left(\ast_{i}[v_i]^{r_i}\right)=\sum_i r_i\mathrm{pr}\left([v_i]\right) \in \pi/[\pi,\pi].$$ Aus der Gleichung $$\sigma_w=\sum_i r_i\left(\rho_{i,0}-\rho_{i,1}+\rho_{i,2}\right)\in C^{sing}_1(X)$$ folgt $$\mathrm{pr}\left([w]\right)=\sum_{i}r_i\mathrm{pr}\left([v_i]\right)=0\in \pi/[\pi,\pi].$$
qed