Bewegungen sind Abbildungen der Ebene, die anschaulich dadurch entstehen, dass man zwei Ebenen, die wie zwei Blätter Papier übereinanderliegen, gegeneinander verschiebt. Wir beschreiben Bewegungen mathematisch durch die Eigenschaften, die sie von anderen Abbildungen unterscheiden.
Definition. Eine Drehwinkel erhaltende Isometrie der Ebene nennen wir eine Bewegung.
Etwas ausführlicher erfreut sich eine Bewegung $\phi:\mathbb E\to\mathbb E$ der Ebene der folgenden Eigenschaft: Für je zwei Strahlen $s$ und $t$ mit gleichem Anfangspunkt gilt \begin{equation}\label{Wkl1e}
\sphericalangle \left(\phi(s),\phi(t)\right) = \sphericalangle (s,t).
\end{equation}
Aus der Definition ist unmittelbar einsichtig, dass die Menge $\mathcal{B}$ der Bewegungen folgenden Eigenschaften erfüllt:
- Die identische Abbildung $\mathrm{id}: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$ ist eine Bewegung, d.h. $\mathrm{id}\in \mathcal{B}$.
- Sind $\phi \in \mathcal{B}$ und $\psi \in \mathcal{B}$ Bewegungen, so auch die Hintereinander-Ausführung $\phi \circ \psi \in \mathcal{B}$.
- Mit $\phi \in \mathcal{B}$ ist auch die Umkehrabbildung $\phi^{-1} \in \mathcal{B}$ eine Bewegung.
Zur Identifikation einer gegebenen Bewegungen dient uns ein Prinzip.
Prinzip 2.1. Es sei $s$ ein Strahl mit Anfangspunkt $P$ und $t$ ein Strahl mit Anfangspunkt $Q$. Dann gibt es genau eine Bewegung $\phi$, die $s$ in $t$ überführt, im Zeichen $\phi (s) = t$. Insbesondere werden die Anfangspunkte aufeinander abgebildet $\phi (P) = Q$.
Man kann dieses Prinzip auch anders formulieren: Seien $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ zwei Strecken gleicher Länge: $|AB| = |CD|$. Dann gibt es genau eine Bewegung $\phi$, die die Endpunkte in der angegebenen Reihenfolge aufeinander abbildet, das heisst $ \phi(A) = C$ und $\phi(B) = D$.
Warnung. Das tägliche Leben lehrt uns, dass bei der Hintereinanderausführung von Handlungen das Resultat sehr stark von der Reihenfolge abhängt, in der die einzelnen Handlungen ausgeführt werden. Genau dasselbe Phänomen trifft auch auf die hier betrachteten Bewegungen der Ebene zu. Im Allgemeinen gilt $$ \phi \circ \psi \neq \psi \circ \phi.$$
Im Folgenden werden wir zwei Arten von Bewegungen näher betrachten: Drehungen und Translationen.