Drehungen

Nach dem ihnen zugrunde liegenden Prinzip werden Bewegungen durch die Angabe zweier Strahlen in der Ebene eindeutig festgelegt. Bei Drehungen geschieht dies wie folgt.

Definition. Es seien $s$ und $t$ zwei Strahlen, die vom gleichen Punkt $Z$ ausgehen. Die Bewegung $D$, welche den Strahl $t$ in den Strahl $s$ überführt, nennen wir Drehung um den Punkt $Z$.

Es sei $t'$ ein weiterer Strahl, der vom Punkt $Z$ ausgeht und sei $s'$ das Bild unter der Drehung $D$, also $s'=D(t')$. Dann hat $s'$ den Punkt $Z$ als Anfangspunkt und für die Drehwinkel gilt [1]:
\begin{align*}
\sphericalangle (D(t'),t')
&= \sphericalangle (D(t'),D(t))+\sphericalangle (D(t),t) + \sphericalangle (t,t') \\
&= \sphericalangle (t',t) + \sphericalangle (D(t),t) + \sphericalangle (t,t')\\
& = \sphericalangle (t',t') + \sphericalangle (D(t),t)\\
&= \sphericalangle (D(t),t)
\end{align*} Die erste, dritte und vierte Gleichung gilt jeweils wegen der Kürzungsregel für Drehwinkel. Die zweite Gleichung benutzt, dass Bewegungen Drehwinkel erhalten. Der Winkel $\alpha = \sphericalangle (D(t),t)$ ist also unabhängig davon, welchen vom Drehzentrum $Z$ ausgehenden Strahl wir zur Identifizierung der Drehung wählen. Wir bezeichen die Drehung $D$ mit $
D(Z,\alpha)
$ und nennen sie die Drehung um den Drehwinkel $\alpha$ mit Zentrum $Z$.

Definition. Es sei $\phi$ ein Isometrie der Ebene.

• Wir nennen eine Teilmenge $\mathcal I\subset \mathbb E$ der Ebene invariant, wenn gilt $\mathcal I=\phi(\mathcal I)$, die Teilmenge also auf sich abgebildet wird.
• Wir nennen ein Teilmenge $\mathcal{F}$ von $\mathbb{E}$ fix unter $\phi$ oder eine Fixpunktmenge, wenn jeder Punkt $F\in\mathcal F$ auf sich abgebildet wird, wenn also für alle $F\in\mathcal F$ gilt $\phi(F)=F$.

Beispiele.

• Jede Fixpunktmenge ist eine invariante Menge.
• Das Zentrum einer Drehung ist ein Fixpunkt.
• Ist $D$ eine Drehung um das Zentrum $Z$, so ist jeder Kreis mit Mittelpunkt $Z$ invariant.

Bemerkung 2.2. Jede Bewegung, die einen Fixpunkt besitzt, ist eine Drehung.

Beweis. Dies ist mehr oder weniger offensichtlich: Jeder Strahl, der vom Fixpunkt ausgeht, wird durch die Bewegung auf einen Strahl abgebildet, der vom gleichen Fixpunkt ausgeht. qed.

Bemerkung 2.3. Wegen der Additivität der Drehwinkel gelten die Gleichungen \[
D(Z,\alpha) \circ D(Z,\beta) = D(Z,\alpha + \beta).
\]

------------

[1] Die Formeln wurden nachträglich verändert, um eine konsistente Notation zu erreichen. Vergleiche die Fußnote bei der Einführung der Drehwinkel.