Im Folgenden wird die Definition des Begriffs Drehwinkel verallgemeinert. Da dieser verallgemeinerte Drehwinkel die gleichen Eigenschaften wie der ursprüngliche erfüllt, wird er mit demselben Symbol gekennzeichnet. Dass er die gleichen Eigenschaften hat, muss allerdings erst bewiesen werden. Bis zum Abschluss des Beweises (unten auf dieser Seite) wird der verallgemeinerte Drehwinkel deshalb zur Unterscheidung farblich gekennzeichnet.
Definition. Seien $s$ und $t$ Strahlen mit Anfangspunkten $A$ und $B$ und sei $T=\overset{\rightarrow}{BA}$. Dann haben die Strahlen $s$ und $T(t)$ den gleichen Anfangspunkt $A$. Wir definieren: $${\color{cyan}\sphericalangle}(s,t)=\sphericalangle\left(s,T(t)\right).$$
Hier zur Wiederholung noch einmal die Definition einer Bewegung:
Definition. Eine Drehwinkel erhaltende Isometrie der Ebene nennen wir eine Bewegung.
Wenn wir den Begriff des Drehwinkels verallgemeinern, so müssen wir nachprüfen, dass diese Definition einer Bewegung mit dem neuen Begriff eines Drehwinkels immer noch Sinn macht: Wir müssen zeigen, dass jede Bewegung auch den verallgemeinerten Drehwinkel erhält. Wir zeigen das zuerst für Translationen.
Lemma. Ist $T'$ eine Translation, so gilt: ${\color{cyan}\sphericalangle}\left(T'(s),T'(t)\right)={\color{cyan}\sphericalangle}(s,t).$
Beweis. Mit den Bezeichnungen $T'(A)=A'$ und $T'(B)=B'$ gilt: $$T(B')=T\circ T'(B)=T'\circ T(B)=T'(A)=A'.$$ Wir setzen nun unsere verallgemeinerte Definition des Drehwinkels ein und erhalten \begin{array}{rcl}
{\color{cyan}\sphericalangle}\left(T'(s),T'(t)\right) & = & \sphericalangle\left(T'(s),T\circ T'(t)\right)\\
& = & \sphericalangle\left(T'(s),T'\circ T(t)\right)\\
& = & \sphericalangle\left(s,T(t)\right)\\
& = & {\color{cyan}\sphericalangle}(s,t).
\end{array} Dabei benutzen wir in der vorletzten Gleichung, dass Bewegungen den (ursprünglich definierten) Drehwinkel erhalten.
qed.
Lemma. Für drei Strahlen $r,s,t$ gilt die Additionsformel $${\color{cyan}\sphericalangle}(r,s)+{\color{cyan}\sphericalangle}(s,t)={\color{cyan}\sphericalangle}(r,t).$$ Insbesondere gilt: ${\color{cyan}\sphericalangle}(s,t)=-{\color{cyan}\sphericalangle}(t,s)$. Außerdem erhalten Bewegungen verallgemeinerte Drehwinkel: $${\color{cyan}\sphericalangle}\left(\phi(s),\phi(t)\right)={\color{cyan}\sphericalangle}(s,t).$$
Beweis. Die Additionsformel ist bekannt, falls Anfangspunkte aller Strahlen gleich sind. Seinen nun $A,B,C$ die Anfangspunkte von $r,s,t$ und seien $T=\overset{\rightarrow}{BA}$ und $T'=\overset{\rightarrow}{CB}$ die entsprechenden Verschiebungen. Dann gilt die Gleichungskette \begin{array}{lcl}
{\color{cyan}\sphericalangle}(r,s)+{\color{cyan}\sphericalangle}(s,t) & = & \sphericalangle\left(r,T(s)\right)+\sphericalangle\left(s,T'(t)\right)\\
& = & \sphericalangle\left(r,T(s)\right)+\sphericalangle(T(s),T\circ T'(t))\\
& = & \sphericalangle(r,T\circ T'(t))\\
& = & {\color{cyan}\sphericalangle}(r,t)
\end{array} Die zweite Gleichung gilt da Translationen Drehwinkel erhalten, die dritte ist die Additionsformel für Drehwinkel. Alle anderen gelten nach Definition der verallgemeinerten Drehwinkel.
Sei $\phi$ eine Bewegung. Wegen $T'(C)=B$ gilt $$\phi\circ T'\circ\phi^{-1}(\phi(C))=\phi(B).$$ Die Bewegung $T''=\phi\circ T'\circ\phi^{-1}$ ist nach Proposition (2.13) eine Translation. Folglich erhalten wir mit der Definition des verallgemeinerten Drehwinkels eine Gleichungskette \begin{array}{lcl}{\color{cyan}\sphericalangle}\left(\phi(s),\phi(t)\right) = \sphericalangle\left(\phi(s),T''\circ\phi(t)\right)
= \sphericalangle(\phi(s),\phi\circ T'(t))
= \sphericalangle(s,T'(t))
= {\color{cyan}\sphericalangle}(s,t).\end{array} Die dritte Gleichung gilt da Bewegungen Drehwinkel erhalten.
qed.
Mit dem verallgemeinerten Begriff des Drehwinkels können wir beliebigen Bewegungen einen Drehwinkel zuordnen:
Definition. Es sei $\phi$ eine Bewegung. Der Drehwinkel $\vartheta(\phi)$ ist definiert als verallgemeinerter Drehwinkel $$\vartheta(\phi)={\color{cyan}\sphericalangle}(\phi(s),s)$$ für einen Strahl $s$.
Man muss diese Definition rechtfertigen, indem man zeigt, dass die rechte Seite der Gleichung unabhängig vom gewählten Strahl $s$ ist. Sei $t$ etwa ein anderer Strahl. Nach der Additionsformel gilt ${\color{cyan}\sphericalangle}(\phi(s),s)+{\color{cyan}\sphericalangle}(s,t)+\sphericalangle(t,\phi(t))={\color{cyan}\sphericalangle}(\phi(s),\phi(t))={\color{cyan}\sphericalangle}(s,t).$ Da sich ${\color{cyan}\sphericalangle}(s,t)$ herauskürzt, finden wir die gesuchte Gleichung ${\color{cyan}\sphericalangle}(\phi(s),s)={\color{cyan}\sphericalangle}(\phi(t),t)$.
Proposition 2.15. Der Drehwinkel von Bewegungen ist additiv, das heißt für Bewegungen $\phi$ und $\psi$ gilt $$\vartheta(\phi\circ\psi)=\vartheta(\phi)+\vartheta(\psi).$$ Eine Bewegung $\phi$ ist genau dann eine Verschiebung, wenn $\vartheta(\phi)=0$ gilt.
Beweis. Für einen Strahl $s$ gilt $\vartheta(\psi)={\color{cyan}\sphericalangle}\left(\psi(s),s\right)$ und ebenso $\vartheta(\phi)={\color{cyan}\sphericalangle}(\phi\circ\psi(s),\psi(s))$. Damit ergibt sich: \begin{array}{rcl}
\vartheta(\phi)+\vartheta(\psi) & = & {\color{cyan}\sphericalangle}(\phi\circ\psi(s),\psi(s))+{\color{cyan}\sphericalangle}(\psi(s),s)\\
&=&{\color{cyan}\sphericalangle}(\phi\circ\psi(s),s)\\ & = & \vartheta(\phi\circ\psi)
\end{array} Die letzte Behauptung folgt nach Definition der Translationen.
qed.