Im Folgenden bezeichnet $I$ ein abgeschlossenes Intervall $I=[a,b]\subset \mathbb R$.
Definition. Unter einer Zerlegung von $I$ versteht man ein Tupel $Z=(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit $$a=x_0 \lt x_1\lt \ldots\lt x_n=b.$$ Für $k\le n$ bezeichne $I_k=[x_{k-1},x_k]$ das $k$-te Teilintervall. Eine weitere Zerlegung $Z'=(x'_0,
x'_1,\ldots,x'_m)$ ist feiner als $Z$, wenn gilt $\{x_0,\ldots,x_n\}\subset \{x'_0,\ldots,x'_m\}$. Wir schreiben $Z'\ge Z$.
Sind $Z$ und $Z'$ zwei beliebige Zerlegungen von $I$, so gibt es eine Zerlegung $Z''$, zum Beispiel die mit der Vereinigungsmenge der Unterteilungspunkte, mit $Z'' \ge Z$ und $Z''\ge Z'$.
Definition. Es sei $f:I\to\mathbb R$ eine beschränkte Funktion und $Z=(x_0,\ldots,x_n)$ eine Zerlegung von $I$. Dann heißen $$
O(Z,f)\colon =\sum^n_{k=1} \sup_{x\in I_k}\{f(x)\}\cdot(x_k-x_{k-1}) \quad\text{bzw.}\quad
U(Z,f)\colon =\sum^n_{k=1} \inf_{x\in I_k}\{f(x)\}\cdot(x_k-x_{k-1})
$$ die Riemannsche Obersumme beziehungseise Untersumme von $f$ bezüglich der Zerlegung $Z$.
Eigenschaften 4.1.1. Sind $f,g\colon I\to\mathbb R$ beschränkt und $Z, Z'$ Zerlegungen von $I$, so gilt:
U(Z,f)\le O(Z',f).$
Beweis.
- Aus der Abschätzung $$
\inf_{y\in I_k}\{f(y)\} + \inf_{y\in I_k} \{g(y)\}\le \inf_{y\in I_k} \{f(y)+g(y)\}
$$ erhalten wir $ U(Z,f)+U(Z,g)\le U(Z,f+g)$. Die Abschätzung $$
\sup_{y\in I_k}\{f(y)\} + \sup_{y\in I_k} \{g(y)\}\ge \sup_{y\in I_k} \{f(y)+g(y)\}
$$ liefert in analoger Weise $ O(Z,f)+O(Z,g)\ge O(Z,f+g)$. - Folgt aus den Gleichungen $
\inf\{\lambda f(x)\}=\lambda \inf\{f(x)\}$ und $\sup\{\lambda f(x)\}=\lambda \sup\{f(x)\}.$ - Folgt aus der Gleichung $\inf\{- f(x)\}= -\sup\{f(x)\}$.
- Ist $Z'\ge Z$, so gilt für Teilintervalle $I'_j \subset I_k$ die Abschätzung $$\sup_{I'_j}\{f(x)\}\le \sup_{I_k}\{f(x)\}.$$ Summiert man über diejenigen Indizes $j$, für die gilt $I'_j\subset I_k$, so erhält man \[ \sum \sup_{I'_j}\{f(x)\}(x'_j-x'_{j-1}) \le
\sup_{I_k}\{f(x)\}\left(\sum (x'_j-x'_{j-1})\right)=\sup_{I_k}\{f(x)\} (x_k-x_{k-1}).\] Summation über $k$ liefert $O(Z',f)\le O(Z,f)$. Analog zeigt man $U(Z,f)\le U(Z',f)$. - Sind $Z'$ und $Z$ beliebige Zerlegungen, so wähle man sich eine gemeinsame Verfeinerung $Z''$. Für diese gilt dann nach dem eben Gezeigten: $$
U(Z',f)\le U(Z'',f)\le O(Z'',f)\le O(Z,f).
$$
qed
Definition. Ist $I$ ein abgeschlossenes Integral und $f\colon I\to\mathbb R$ beschränkt, so heißt $$
U(f,I) := \sup\{U(Z,f)\;|\;Z
\text{ ist Zerlegung von}\; I\}
$$ das Riemannsche Unterintegral von $f$ und
$$
O(f,I): = \inf\{O(Z,f)\;|\;Z
\text{ ist Zerlegung von}\; I\}
$$ das Riemannsche Oberintegral. Sind Ober- und Unterintegral gleich, so heißt $f$ Riemann-integrierbar auf $I$. In diesem Falle nennt man
$$
\int\limits^b_af(x)\,d x =\int_I f(x)\, d x := O(f,I)=U(f,I).
$$ das Riemannintegral von $f$ in den Grenzen zwischen $a$ und $b$.
Satz 4.1.2. Es sei $I=[a,b]$. Das Riemannintegral hat folgende Eigenschaften:
\]
\int_a^b\left(f+g\right)(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx.
\]
\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx.
\]
Beweis.
- Die Aussage folgt aus 4.1.1, zunächst für $\lambda\gt 0$ und für $\lambda=-1$, und durch Verbindung der beiden Aussagen für beliebige $\lambda$.
- Aus 4.1.1 erhalten wir die Abschätzungen \[U(f,I)+U(g,I)\le U(f+g,I)\le O(f+g,I)\le O(f,I)+O(g,I).\] Da $f$ und $g$ integrierbar sind, gilt $U(f,I)=O(f,I)$ und $U(g,I)=O(g,I)$. Die Aussage folgt.
- Aus $f(x)\ge g(x)$ für jedes $x\in I$ folgt $\inf f(J)\ge \inf g(J)$ für jede Teilmenge $J\subset I$. Für jede Zerlegung $Z$ folgt $U(Z,f)\ge U(Z,g)$. Durch Übergang zum Supremum über alle Zerlegungen folgt $U(f,I)\ge U(g,I)$, und da $f$ und $g$ als integrierbar vorausgesetzt sind, folgt die Behauptung.
qed
Der Satz besagt insbesondere, dass die integrierbaren Funktionen einen reellen Vektorraum $\mathcal I\left([a,b]\right)$ bilden und dass das Integral eine lineare Abbildung $$\int_Idx \colon \mathcal I\left([a,b]\right)\to \mathbb R, \quad f\mapsto \int_I f(x)\,dx $$ beschreibt, die überdies monoton ist: \[
f(x)\ge g(x)\quad \forall x\in I \implies \int_If(x)\,dx \ge \int_I g(x)\,dx.
\]
Satz 4.1.3. Die Funktion $f\colon [a,c]\to\mathbb R$ sei beschränkt und $b\in(a,c)$. Dann ist $f$ genau dann auf $[a,c]$ Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkungen von $f$ auf $[a,b]$ und $[b,c]$ Riemann-integrierbar sind. In diesem Fall ist dann $$
\int\limits^c_a f\,dx=\int\limits^b_a f\,dx + \int\limits^c_b f\,dx.$$
Beweis. Durch Hinzunahme von $b$ als Zerlegungspunkt erhalten wir eine Verfeinerung jeder Zerlegung von $[a,c]$ und umgekehrt liefern beliebige Zerlegungen von $[a,b]$ und $[b,c]$ jeweils Zerlegungen von $[a,c]$. Daraus folgen die Gleichungen in der Ungleichungskette $$
U(f,[a,c]) = U(f,[a,b])+U(f,[b,c])
\le O(f,[a,b])+O(f,[b,c]) = O(f,[a,c]).$$ Ist $f$ auf $[a,c]$ integrierbar, so steht an beiden Enden dieser Ungleichungskette dieselbe Größe. Die Ungleichung in der Kette muss folglich eine Gleichung sein. Folglich ist $f$ auf beiden Intervallen $[a,c]$ und $[b,c]$ integrierbar. Ist $f$ umgekehrt auf den beiden Teilintervallen integrierbar, so ist die Ungleichung eine Gleichung und folglich $f$ auch auf $[a,c]$ integrierbar.
qed
Integrabilitätskriterium 4.1.4. Eine beschränkte Funktion $f:I\to\mathbb R$ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem $\varepsilon \gt 0$ eine Zerlegung $Z$ von $I$ gibt mit $$
O(Z,f)-U(Z,f) \lt \varepsilon.
$$
Beweis. Zuerst sei $f$ als Riemann-integrierbar angenommen und eine Toleranzgrenze $\varepsilon \gt 0$ vorgegeben. Dann können wir Zerlegungen $Z_1$ und $Z_2$ von $I$ finden mit $$
O(Z_1,f)-\int\limits^b_a f\,dx \le \frac{\varepsilon}{2} \text{ und } \int\limits^b_a
f\,dx - U(Z_2,f) \lt \frac{\varepsilon}{2}.
$$ Ist nun $Z$ eine gemeinsame Verfeinerung von $Z_1$ und $Z_2$, so gilt
\begin{align*}
O(Z,f)-U(Z,f)&\le O(Z_1,f)-U(Z_2,f)\\
&\le \left(O(Z_1,f)-\int\limits^b_a f dx\right)+\left(\int\limits^b_a f dx-U(Z_2,f)\right)\\
&\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
\end{align*} Sei umgekehrt das Kriterium erfüllt. Für jedes $\varepsilon \gt 0$ finden wir dann eine Zerlegung $Z$ mit
$$
0\le O(f,I) - U(f,I) \le O(Z,f)-U(Z,f) <\varepsilon.
$$ Folglich stimmen Ober- und Unterintegral von $f$ überein.
qed
Satz 4.1.5. Sind $f,g:I\to\mathbb R$ Riemann-integrierbar, so auch $|f|,\max(f,g),\min(f,g),f\cdot g$ und $|f|^p$ für alle $p\in[1,\infty[$.
Beweis. Nach dem Integrabilitätskriterium existiert zur Toleranzgrenze $\varepsilon > 0$ eine Zerlegung $Z=(x_0,\ldots,x_n)$ mit $O(Z,f)-U(Z,f)
\lt \varepsilon$. Sind $x$ und $x'$ im Intervall $I_{k}$, so gilt $$
|f(x)|-|f(x')| \le |f(x)-f(x')| \le\sup_{I_k}f(x) - \inf_{I_k}f(x).
$$ Nach Übergang zum Supremum gilt also $$
\sup|f(x)|-\inf|f(x)| \le \sup f(x)-\inf f(x),
$$ wobei die Grenzen jeweils über $x\in I_k$ gebildet werden. Diese Abschätzung überträgt sich auf Ober- und Untersummen:
$$
O(Z,|f|)-U(Z,|f|) \le O(Z,f)-U(Z,f) \lt \varepsilon.
$$ Also ist mit $f$ auch $|f|$ integrierbar. Die Integrierbarkeit von $\max\{f,g\}=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|)$ und $\min\{f,g\}=\frac{1}{2}(f+g-|f-g|)$ folgt unmittelbar.
Es sei $p\in[1,\infty)$. Wendet man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an auf die differenzierbare Funktion $x\mapsto x^p$, so erhält man einen Wert $c_k$ zwischen $A=\inf_{I_k}|f(x)|$ und $B=\sup_{I_k}|f(x)|$ mit $$
\sup_{I_k}(|f(x)|^p)-\inf_{I_k}(|f(x)|^p)=B^p-A^p=
p\cdot c^{p-1}_{k}(B-A)=
p\cdot c^{p-1}_{k}(\sup_{I_k}|f(x)|-\inf_{I_k}|f(x)|)$$ Ist $|f(x)|$ im Intervall $I$ beschränkt durch $K$, so gilt $c_k\le K$ und
\begin{align*}
O(Z,|f|^p) - U(Z,|f|^p)&\le\sum^n_{k=1}(x_k-x_{k-1}) p\cdot
K^{p-1}(\sup_{I_k}|f(x)|- \inf_{I_k}|f(x)|)\\
&=p\cdot K^{p-1}\left(O(Z,|f|) - U(Z,|f|)\right)
\end{align*} Mit dem Integrabilitätskriterium folgt, dass $|f|^p$ integrierbar ist. Die Integrierbarkeit des Produkts ist nun eine Konsequenz der Formel
$$
f\cdot g=\frac{1}{4}\,(|f+g|^2 - |f-g|^2).
$$qed
Satz 4.1.6. Es sei $K\subset \mathbb C$ kompakt. Eine stetige Funktion $f\colon K\to
\mathbb C$ ist sogar gleichmäßig stetig.
Beweis. Wäre $f$ nicht gleichmäßig stetig, so existierte ein $\varepsilon>0$ derart, dass es zu jedem $\delta \gt 0$ Punkte $x,y\in K$ gäbe mit $|x-y|\lt \delta$ und $|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon$. Insbesondere existierten dann zu $\delta=\frac{1}{n}$ Punkte $x_n,y_n\in K$ mit $|x_n-y_n|\lt \frac{1}{n}$ und $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon$. Nach Übergang zu einer Teilfolge könnten wir annehmen, die Folge $(x_n)$ konvergiere gegen einen Grenzwert $x\in K$. Wegen $y_n=(y_n-x_n)+x_n$ konvergierte dann auch die Folge $(y_n)$ gegen den Grenzwert $x$. Aus der Stetigkeit von $f$ folgte dann
$$
\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n),
\mbox{ also }\, 0=\lim\limits_{n\to\infty} |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon \gt 0.
$$ Das aber wäre Unsinn.
qed
Satz 4.1.7. Ist die Funktion $f:[a,b]\to\mathbb R$ stetig, so ist sie Riemann-integrierbar.
Beweis. Sei $f$ eine stetige Funktion und $\varepsilon \gt 0$ eine Toleranzgrenze. Nach dem eben bewiesenen Satz lässt sich ein $\delta\gt 0$ so finden, dass für $x,y\in I$ mit $|x-y|\lt \delta$ gilt $$|f(x)-f(y)|\lt \frac{\varepsilon}{(b-a)}.$$ Wir wählen nun eine Zerlegung $Z=(x_0,\ldots,x_n)$ von $I$ mit $x_k-x_{k-1}\lt \delta$ für alle $k$. Die stetige Funktion $f$ nimmt ein Teilintervall $I_k$ Supremum und Infimum in den Punkten $y_k$ und $z_k$ an. Wegen $|y_k-z_k|\lt \delta$ gilt dann:
$$
O(Z,f)-U(Z,f)=\sum^n_{k=1}(x_k-x_{k-1})(f(y_k)-f(z_k))\\
\lt \left(\sum^n_{k=1}(x_k-x_{k-1})\right)\cdot\frac{\varepsilon}{b-a}=\varepsilon.
$$qed
Eine kurze Anmerkung zur Schreibweise: Ist $f$ integrierbar und, wie bisher, $a\lt b$, so setzt man $$
\int\limits^a_b f\, dx:= -\int\limits^b_a f\, dx\,\,\,\text{und}\,\,\,
\int\limits_a^af\,dx:=0.
$$