Substitutionsregel 4.4.1. Sei $I\subset\mathbb R$ ein Intervall, $f\colon I\to\mathbb R$ stetig und $g:[a,b]\to I$ stetig differenzierbar. Dann gilt:
$$
\int\limits^b_a f(g(x))g'(x)\,dx=\int\limits^{g{(b)}}_{g{(a)}}f(y)\, dy.
$$
Beweis. Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann ist nach der Kettenregel die Funktion $F(g(x))$ Stammfunktion von $f(g(x))g'(x)$. Folglich gilt
$$
\int\limits^b_af(g(x))g'(x)\, dx= F(g(b))-F(g(a))=
\int\limits^{g{(b)}}_{g{(a)}}f(y)\,dy.
$$qed
Beispiele 4.4.2.
- Wählen wir die Substitution $g(x)=x+c$, so erhalten wir
$$
\int\limits^b_a f(x+c)dx= \int\limits^{b+c}_{a+c} f(x) dx.
$$ - Ist $g(x)\ne 0$ für $x\in I$ und $g$ stetig differenzierbar, so ist
$$
\int\limits^b_a \frac{g'(x)}{g(x)}
dx=\int\limits^{g(b)}_{g(a)}\frac{1}{x}\, dx=
\left[\log(|x|)\right]^{g(b)}_{g(a)},
$$oder kurz$$
\int\frac{g'}{g}dx=\log |g(x)|.
$$ Speziell gilt
$$
\int\tan(x)dx= -\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}dx= -\log|\cos(x)|.
$$ - Das Integral $\int^R_{-R}\sqrt{R^2-y^2}\, dy$ beschreibt die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius $R$. Zur Berechnung benutzen wir die Substitution $y=R\,\sin(x)$. Mit $\frac{dy}{dx}= R\,\cos(x)$ erhalten wir
\begin{align*}
\int\limits^R_{-R}\sqrt{R^2-y^2}\, dx
&=R^2\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} \sqrt{1-\sin^2(x)} \cos(x)\, dx
=R^2\int\limits^{\pi/2}_{-\frac{\pi}{2}}\cos^2(x)\,dx\\
&=\frac{R^2}{2}\left[x+ \sin(x)\cos(x)\right]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}
=\frac{\pi}{2}R^2.
\end{align*} - Die Stammfunktion von $\frac{x}{(1+x^2)^n}$ erhalten wir mit der Substitution $y=x^2$:
$$
\int\limits^b_a\frac{x}{(1+x^2)^n}
dx=\frac{1}{2}\int\limits^{b^2}_{a^2}\frac{dy}{(1+y)^n}=
\begin{cases}
\left[\frac{1}{2}\log|1+x^2|\right]^b_a & \text { für}\; \;n=1\\\\
\left[\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-n}\,\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\right]^b_a & \text
{ für}\;\; n\in \mathbb {Z}\setminus\{1\}.
\end{cases}
$$ - Mit der Substitution $x=g(t):=t^4+1$ bekommt man \[
\int t^3\log(1+t^4)\,dt=\frac14\int\log(x)\,dx=\frac14(x\log(x)-x)=\frac14(1+t^4)\left(\log(1+t^4)-1\right).
\] - Integrale der Form $$\int R(\sin(\varphi),\cos(\varphi))d\varphi,$$ wo $R$ eine rationale Funktion in zwei Variablen bezeichnet, können durch die folgende Substitution in Integrale über rationale Funktionen einer Variablen überführt werden:\[\varphi:=2\arctan(t),\quad t=\tan(\varphi/2).\] Man erhält \[
\sin(\varphi)=\frac{2t}{1+t^2}, \cos(\varphi)=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \tan(\varphi)=\frac{2t}{1-t^2}, \varphi'(t)=\frac2{1+t^2}.
\]Insgesamt bedeutet dies \[
\int R(\sin(\varphi),\cos(\varphi))d\varphi=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2dt}{1+t^2}.
\] Die rechte Seite ist nun ein Integral über eine rationale Funktion, die man mit den üblichen Regeln löst, gegebenenfalls mit Partialbruchzerlegung. Zum Beispiel gilt \[
\int\frac{d\varphi}{\sin(\varphi)}=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2dt}{1+t^2}=\int\frac{dt}{t}=\log(t)=\log\tan\frac{\varphi}{2}.
\]