Definition. Eine Funktion $f$ auf dem halboffenen Intervall $[a,b[$ heißt (uneigentlich) integrierbar, wenn für jedes $t$ aus dem Intervall $] a,b[$ die Funktion $f$ auf $[a,t]$ integrierbar ist und der Limes $$
\int\limits^b_a f(x)dx:=\lim_{t\to b}\int\limits^t_a
f(x) dx
$$ existiert. Diesen Limes nennt man das (uneigentliche) Integral von $f$.
Der Fall $b=\infty$ ist erlaubt. Analog wird der Fall einer Funktion auf dem halboffenem Intervall $]a,b]$ behandelt. Eine Funktion $f$ auf einem offenen Intervall $]a,b[$ heißt (uneigentlich) integrierbar, wenn es einen Trennpunkt $t$ aus dem Intervall $]a,b[$ gibt, so dass $f$ auf $]a,t]$ und $[t,b[$ integrierbar im obigen Sinne ist. Das (uneigentliche) Integral von $f$ ist dann die Summe
$$
\int\limits^b_a f(x) dx:=\int\limits^t_a f(x) dx +
\int\limits^b_t f(x)dx.
$$ Dies Integral ist unabhängig von der Wahl des Trennpunktes $t$.
Beispiele.
- Für $s>0$ betrachten wir das uneigentliche Integral
$$\int\limits^\infty_1 \frac{dx}{x^s}.$$ Im Falle $s=1$ gilt
$$\int\limits^N_1 \frac{dx}{x}=\log(N).$$ Wegen $\lim_{N\to\infty}\log(N)=\infty$ existiert in diesem Falle das uneigentliche Integral nicht. Gilt sogar $s\lt 1$, so ist $\frac{1}{x^s}\ge\frac{1}{x}$. Also existiert das uneigentliche Integral in diesem Falle erst recht nicht. Für $s\gt 1$ hingegen ist
$$\int\limits^N_1\frac{dx}{x^s}=\left[\frac{1}{1-s}x^{1-s}\right]^N_1=\frac{1}{1-s}(N^{1-s}-1).$$ Wegen $\lim\limits_{N\to\infty} N^{1-s}=0$ folgt
$$\int\limits^\infty_1\frac{dx}{x^s}=\frac{1}{s-1}.$$ Insbesondere ist
$$\int\limits^\infty_1 \frac{dx}{x^2}=1.$$ - Zur Berechnung des uneigentlichen Integrals
$$
\int\limits^1_0\frac{dx}{x^s}
$$ für $s>0$ setzen wir $x=\frac{1}{y^{1/s}}$. Wegen $x^s=\frac{1}{y}$ und $dx=-\frac{1}{sy^{1+1/s}}
dy$ gilt dann
$$\int\limits^1_\varepsilon\frac{dx}{x^s}=-\frac{1}{s}\int\limits^{1/1^s}_{1/\varepsilon^s}\frac{ydy}{y^{1+1/s}}=\frac{1}{s}\int\limits^{1/\varepsilon^s}_1\frac{dy}{y^{1/s}},$$ Indem wir $\varepsilon$ gegen Null streben lassen, erkennen wir
$$\int\limits^1_0\frac{dx}{x^s}=\frac{1}{s}\int\limits^\infty_1\frac{dy}{y^{1/s}}.$$ Dies Integral existiert nicht für $1/s\le 1$, also nicht für $s\ge 1$. Für $s\lt 1$ ist es
$$\int\limits^1_0\frac{dx}{x^s}=\frac{1}{s}\left(\frac{1}{\frac{1}{s}-1}\right)=\frac{1}{1-s}.$$
Ist $(a_n)$ eine Folge, so sei die Funktion $f$ auf $[n,n+1[$ konstant $a_n$ definiert. Dann ist
$$
\int\limits^\infty_1 f(x)dx=\sum^\infty_{n=1} a_n.
$$ Auf diese Weise lassen sich Reihen als uneigentliche Integrale darstellen. Es ist also nicht reiner Zufall, dass sich uneigentliche Integrale und Reihen in ihrem Konvergenzverhalten ähneln:
Satz 4.6.1. Sei $f:[1,\infty[\to[0,\infty[$ monoton fallend und auf allen Intervallen $[1,t]$ integrierbar. Dann haben
$$\int\limits^\infty_1 f(x)dx\qquad\text{und}\qquad\sum^\infty_{n=1} f(n)$$ das gleiche Konvergenzverhalten: Der eine Limes existiert genau dann, wenn der andere existiert.
Beweis. Für $x$ in $[n,n+1]$ gilt wegen der Monotonie $f(n)\ge f(x)\ge
f(n+1)$. Es folgt $$
f(n)\ge\int\limits^{n+1}_n f(x)dx\ge f(n+1),
$$ also durch Summation
$$
\sum^N_{n=1}f(n)\ge\int\limits^{N+1}_1 f(x)dx\ge
\sum^{N+1}_{n=2} f(n).
$$ Das zeigt: Ist die Reihe beschränkt, so auch das Integral. Und umgekehrt. Da beides mit $N$ monoton wächst, folgt die Behauptung.
qed
Ist eine Reihe $$\sum\limits^\infty_{n=0} a_n$$ konvergent, so ist $(a_n)$ eine Nullfolge. Bei uneigentlichen Integralen braucht das nicht der Fall zu sein: Ein Integral $$\int\limits^\infty_0f(x)dx$$ kann existieren, ohne dass $f(x)$ gegen Null konvergiert wenn $x$ gegen Unendlich strebt. Die Funktion braucht noch nicht einmal beschränkt zu sein.
Beispiele.
- Die Substitution $x=\sqrt{y}$ liefert
$$
\int\limits^\infty_0\sin(\pi x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 \frac{\sin
(\pi y)}{\sqrt{y}}dy.
$$ Das Integral auf der rechten Seite konvergiert: Die durch $$b_n:=\left|\frac{1}{2}\int\limits^{n+1}_n \frac{\sin
(\pi y)}{\sqrt{y}}dy\right|$$ definierte Folge $(b_n)_{n\in \mathbb N_0}$ ist monoton fallend und lässt sich durch $b_n \le \frac1{2\sqrt{n}}$ für $n\in \mathbb N$ abschätzen. Nach dem Leibnizkriterium (2.2.3) ist die alternierende Reihe $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 \frac{\sin
(\pi y)}{\sqrt{y}}dy$$ konvergent. Folglich konvergiert auch das linke Integral, obwohl der Grenzwert $
\lim\limits_{x\to\infty}\sin(\pi x^2)
$ nicht existiert. - Mit der gleichen Substitution folgt
$$
\int\limits^\infty_0x\sin(\pi x^4)\,dx=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0\sin(\pi y^2)\,dy.
$$ Dies Integral existiert, wie soeben erklärt, obwohl die Funktion $x\sin(\pi x^4)$ noch nicht einmal beschränkt ist.