6.5.2. Satz. Es sei $A_0\in \mathcal Lis(E,F)\subset \mathcal L(E,F)$. Dann ist die offene $\left\|A_0^{-1}\right\|^{-1}$-Umgebung $$U_{\left\|A_0^{-1}\right\|^{-1}}(A_0)=\left\{A\in\mathcal L(E,F)\;{\large|}\; \|A-A_0\|\lt \left\|A_0^{-1}\right\|^{-1}\right\}$$ von $A_0$ noch ganz in $\mathcal Lis(E,F)$ enthalten. Insbesondere ist $\mathcal Lis(E,F)\subset \mathcal L(E,F)$ eine offene Teilmenge.
Beweis. Für $A\in U_{\left\|A_0^{-1}\right\|^{-1}}(A_0)$ setzen wir $C:=-A_0^{-1}(A-A_0)\in \mathcal L(E,E)$, und erhalten die Abschätzung $$\|C\|\le \|A_0^{-1}\|\;\|A-A_0\|\lt 1.$$ Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die geometrische Reihe $$\sum_{k=0}^\infty C^k=(1-C)^{-1}$$ und es gilt $$(1-C)^{-1}\cdot A_0^{-1}= \left(1 +A_0^{-1}(A-A_0)\right)^{-1}A_0^{-1}=\left(A_0\cdot \left(1+A_0^{-1}(A-A_0)\right)\right)^{-1}= A^{-1}.$$qed
6.5.3. Satz. Die Abbildung $$\mathrm{inv}\colon\mathcal Lis(E,F)\to \mathcal L(E,F),\quad A\mapsto A^{-1}$$ ist unendlich oft stetig differenzierbar und es gilt für $B\in \mathcal L(E,F)$ $$\partial\,\mathrm{inv}(A)B=-A^{-1}BA^{-1}.$$
Beweis. Zum Nachweis der Stetigkeit von $\mathrm{inv}$ sei $\varepsilon\gt 0$ vorgegeben. Es sei $$\|A-A_0\|\lt \min\left(\frac1{2\|A_0^{-1}\|},\frac{\varepsilon}{2\|A_0^{-1}\|^2}\right).$$ Wir benutzen die Gleichung $$A^{-1}=\left(1 +A_0^{-1}(A-A_0)\right)^{-1}A_0^{-1}$$ aus dem obigen Beweis und erhalten \begin{aligned}A^{-1}-A_0^{-1}&=
\left(1 +A_0^{-1}(A-A_0)\right)^{-1}\left( 1-(1+A_0^{-1}(A-A_0)\right)A_0^{-1}\\
&=-\left(1 +A_0^{-1}(A-A_0)\right)^{-1}A_0^{-1}(A-A_0)A_0^{-1}.\end{aligned} Daraus ergibt sich die Abschätzung $$\|\mathrm{inv}(A)-\mathrm{inv}(A_0)\|
\le \frac{\|A_0^{-1}\|^2\|A-A_0\|}{1-\|A_0^{-1}(A-A_0)\|}\lt 2\|A_0^{-1}\|^2\|A-A_0\|\lt \varepsilon$$ und damit die Stetigkeit.
Zum Nachweis der Differenzierbarkeit seien $A\in \mathcal Lis(E,F)$ gegeben. Ist $B\in \mathcal L/E,F)$ mit $\|B\|\lt1/\|A^{-1}\|,$ so gilt $A+B\in \mathcal Lis(E,F)$ gemäß dem Beweis von 6.5.1. Es gilt \begin{aligned}\mathrm{inv}(A+B)-\mathrm{inv}(A)+A^{-1}BA^{-1}&=(A+B)^{-1}\left(A-(A+B)\right)A^{-1}+ A^{-1}BA^{-1}\\
&=\left(\mathrm{inv}(A)-\mathrm{inv}(A+B)\right)BA^{-1}\end{aligned} und folglich $$\mathrm{inv}(A+B)-\mathrm{inv}(A)+A^{-1}BA^{-1}=o(\|B\|)$$ aufgrund der Stetigkeit von $\mathrm{inv}$. Damit ist die Ableitung von $\mathrm{inv}$ an der Stelle $A$ bestimmt. Sie lässt sich darstellen als Komposition $$\partial\,\mathrm{inv}(A)=b\left(\mathrm{inv}(A),\mathrm{inv}(A)\right),$$ mit der stetigen, bilinearen Abbildung $$b\colon \mathcal L(F,E)^2\to \mathcal L\left(\mathcal L(E,F),\mathcal L(F,E)\right),\quad b(L,R)(M):=-LMR$$ für $L,R\in \mathcal L(F,E)$ und $M\in \mathcal L(E,F)$. Diese Formel schlägt mehrere Fliegen mit einer Klappe: Da $b$, wie auch $\mathrm{inv}$ stetig sind, folgt es für $\partial\,\mathrm{inv}$. Darüber hinaus ist $b$ als bilineare Abbildung unendlich oft differenzierbar. Die obige Formel impliziert, dass auch $\mathrm{inv}$ unendlich oft differenzierbar ist: Die höheren Ableitungen von $\mathrm{inv}$ lassen sich mit Hilfe der verallgemeinerten Produktregel darstellen als Summen von iterierten Anwendungen von $b$ und $\mathrm{inv}$. So ist \begin{aligned}\partial^2\mathrm{inv}(A)&=\partial b\left(\mathrm{inv}(A),\mathrm{inv}(A)\right)\\&=b\left(\partial\, \mathrm{inv}(A),\mathrm{inv}(A)\right)+b\left( \mathrm{inv}(A),\partial\,\mathrm{inv}(A)\right)\\
&=b\left(b\left(\mathrm{inv}(A),\mathrm{inv}(A)\right),\mathrm{inv}(A)\right)+b\left(\mathrm{inv}(A),b\left(\mathrm{inv}(A),\mathrm{inv}(A)\right)\right).\end{aligned}qed