Es sei $\mathfrak U$ eine Familie von Teilräumen, deren Inneres den Raum $X$ überdeckt. Ein singulärer Simplex heißt $\mathfrak U$-klein, falls sein Bild in einem Familienmitglied enthalten ist. Die $\mathfrak U$-kleinen Simplizes spannen einen Unterkomplex $C^{\mathfrak U}_*(X;M)$ des singulären Kettenkomplexes $C^{sing}_*(X;M)$ auf. Es bezeichne $H_*^{\mathfrak U}(X;M)$ die Homologie dieses Komplexes. Der folgende Satz begründet das Ausschneidungsaxiom für die singuläre Homologie.
1.5.9. Satz. Die Inklusion $C^{\mathfrak U}_*(X;M)\subset C^{sing}_*(X;M)$ von Kettenkomplexen induziert in der Homologie einen Isomorphismus $$H_*^{\mathfrak U}(X;M)\cong H_*^{sing}(X;M).$$
1.5.10. Bemerkung. Ist $(X,A)$ ein Raumpaar und $\mathfrak U$ eine Überdeckung von $X$, so induziert diese eine Überdeckung $$\mathfrak U\cap A:=\{U\cap A\mid U\in \mathfrak U\}$$ des Unterraums $A$. Man definiert den relative Kettenkomples der $\mathfrak U$-kleinen Simplizes als Quotient $$C^{\mathfrak U}_*(X,A):=C^{\mathfrak U}_*(X)/C^{\mathfrak U\cap A}_*(A)$$ und erhält aus dem kommutativen Diagramm von Kettenkomplexen \begin{matrix}
0&\to&C^{\mathfrak U\cap A}_*(A)&\to&C^{\mathfrak U}_*(X)&\to&C^{\mathfrak U}_*(X,A)&\to&0\\
&&\downarrow& &\downarrow& &\downarrow& &\\
0&\to&C^{sing}_*(A)&\to&C^{sing}_*(X)&\to&C^{sing}_*(X,A)&\to&0\end{matrix} mit kurzen exakten Reihen ein entsprechendes Diagramm von langen exakten Homologiesequenzen. Anwendung des Fünfer-Lemmas liefert die Verallgemeinerung von 1.5.9. auf Raumpaare, nämlich einen von der Inklusion der $\mathfrak U$-kleinen Ketten induzierten Isomorphismus $$H_*^{\mathfrak U}(X,A;M)\cong H_*^{sing}(X,A;M).$$
1.5.11. Ausschneidungssatz. Ist $(X,A)$ ein Raumpaar und ein Unterraum $B\subset A$ gegeben mit $\overline{B}\subset \mathring{A}$, so induziert die Inklusionsabbildung für alle $n\in \mathbb Z$ einen Isomorphismus $$H_n^{sing}(X\setminus B,A\setminus B)\xrightarrow{\cong}H_n^{sing}(X,A).$$
Beweis von 1.5.11. Wir wenden 1.5.10. an auf die Überdeckung $\mathfrak U:=\{X\setminus B, A\}$ und schreiben kurz $C_*$ für $C_*^{sing}$. Nach Definition gilt $C_n^{\mathfrak U}(X)=C_n (X\setminus B)+C_n (A)$ und $C_n (A\setminus B)=C_n (X\setminus B)\cap C_n (A)$. Die Inklusion $(X\setminus B)\to X$ induziert folglich einen kanonischen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$C_*(X\setminus B, A\setminus B)=\frac{C_*(X\setminus B)}{C_*(A\setminus B)}=\frac{C_*(X\setminus B)}{C_*(A)\cap C_*(X\setminus B)}\cong \frac{C_*(X\setminus B)+C_*(A)}{C_*(A)}=\frac{C_*^{\mathfrak U}(X)}{C_*^{\mathfrak U\cap A}(A)}=C_*^{\mathfrak U}(X,A).$$ Die Aussage des Ausschneidungsaxioms folgt somit aus 1.5.10.
qed
Zum Beweis von Satz 1.5.9. brauchen wir etwas Vorbereitung.
1.5.12. Definition. Es seien Vektoren $v_0,\ldots, v_\ell\in \mathbb R^N$ gegeben.
Für affine Ketten, d.h. für endliche Linearkombinationen $c=\sum m_\sigma\sigma$ affiner Simplizes, gilt die Formel $$\partial\left(v\cdot c\right)=\begin{cases} c-\varepsilon(c)v&\text{ für }n=0\\
c-v\cdot \partial\sigma&\text{ sonst.}
\end{cases}$$ Hier ist $\varepsilon\colon C_0^{sing}(X;M)\to M$ die sogenannte Augmentiationsabbildung $\sum m_\sigma\sigma\mapsto \sum m_\sigma$. Es bezeichne $\iota_n\colon \Delta_n\to \Delta_n$, wie schon im letzten Abschnitt, die identische Abbildung, betrachtet als $n$-Simplex.
1.5.13. Definition. Die baryzentrische Unterteilung $\mathfrak B_*\colon C_*^{sing}(X)\to C_*^{sing}(X)$ wird definiert durch $\mathfrak B_n(\sigma)=\sigma_*\mathfrak B_n(\iota_n)$, wobei $\mathfrak B_n(\iota_n)$ rekursiv beschrieben wird $$\mathfrak B_n(\iota_n):=\begin{cases} \iota_0&\text{ für }n=0,\\
b^{\iota_n}\cdot \mathfrak B_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)&\text{ sonst.}
\end{cases}$$
1.5.14. Proposition. Die baryzentrische Unterteilung ist eine natürliche Kettenabbildung und als solche natürlich homotop zur identischen Abbildung.
Beweis. Die Gleichungen $$
f_*\mathfrak B_*\sigma=f_*\sigma_*\mathfrak B_*(\iota_n)=(f\sigma)_*\mathfrak B_*(\iota_n)=\mathfrak B_*(f\sigma)=\mathfrak B_*(f_*\sigma)$$ zeigen die Natürlichkeit. Dass $\mathfrak B_*$ eine Kettenabbildung ist, zeigen wir induktiv. Für $n=1$ gilt $$\partial \mathfrak B_1(\iota_1)=\partial\left(b^{\iota_1}\cdot\mathfrak B_0(\partial \iota_1)\right)=\partial \iota_1=\mathfrak B_0\partial\iota_1.$$ Für $n\gt 1$ lautet die Rechnung $$
\partial \mathfrak B_n(\iota_n)=
\partial\left(b^{\iota_n}\cdot\mathfrak B_{n-1}(\partial \iota_n)\right)=
\mathfrak B_{n-1}\partial\iota_n-b^{\iota_n}\cdot\partial \mathfrak B_{n-1}\partial\iota_n=
\mathfrak B_{n-1}\partial\iota_n-b^{\iota_n}\cdot \mathfrak B_{n-1}\partial\partial\iota_n=
\mathfrak B_{n-1}\partial\iota_n.$$ Hier benutzen wir nacheinander die Definition, die Formel für den Rand eines Kegels, die Induktions-Annahme und $\partial\partial=0$. Die Natürlichkeit der Konstruktion überträgt das Ergebnis dieser Rechnung auf beliebige $n$-Simplizes: $$\partial\mathfrak B\sigma=\partial\sigma_*\mathfrak B\iota=\sigma_*\partial\mathfrak B\iota=\sigma_*\mathfrak B\partial\iota=\mathfrak B\sigma_*\partial\iota=\mathfrak B\partial\sigma_*\iota=\mathfrak B\partial\sigma.$$ Die Kettenhomotopie definieren wir ebenso rekursiv durch $\chi_0\iota_0=0$ und $$\chi_n\iota_n:=b^{\iota_n}\cdot\left(\mathfrak B(\iota_n)-\iota_n-\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)\right).$$ Beim Prüfen der charakterisierenden Gleichung einer Kettenhomotopie $$\begin{aligned}\partial\chi_n\iota_n=
&\mathfrak B(\iota_n)-\iota_n-\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)-
b^{\iota_n}\cdot \partial \left( \mathfrak B(\iota_n)-\iota_n-\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)\right)
\\
=&\mathfrak B(\iota_n)-\iota_n-\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)\end{aligned}$$ benutzen wir die Nebenrechnung
$$\begin{aligned}\partial \left( \mathfrak B(\iota_n)-\iota_n-\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right)\right)&=
\mathfrak B(\partial\iota_n)-\partial\iota_n-\partial\chi_{n-1}\left(\partial\iota_n\right) \\
&= \mathfrak B(\partial\iota_n)-\partial\iota_n-\left(\mathfrak B(\partial\iota_n)-\partial\iota_n-\chi_{n-2}\left(\partial\partial\iota_n\right)\right)\\
&=0.\end{aligned}$$ Die Natürlichkeit der Kettenhomotopie ergibt sich aus der Definition $\chi\sigma:=\sigma_*\chi\iota$ und der Rechnung $$\partial\chi\sigma=\partial\sigma_*\chi\iota=\sigma_*\partial\chi\iota=\sigma_*\left(\mathfrak B\iota-\iota-\chi\partial\iota\right)=\mathfrak B\sigma-\sigma-\chi\partial\sigma.$$ qed
1.5.15. Lemma. Für $v_0,\ldots,v_\ell\in \mathrm R^N$ ist der Durchmesser des affinen Simplex $\sigma=[v_0,\ldots,v_\ell]\Delta_\ell$ gegeben durch $$
\mathrm{diam}\,\sigma=\max_{i,j}\|v_i-v_j\|.$$
Beweis. Für $x=\sum x_iv_i$ und $y=\sum y_iv_i$ gilt $\sum x_i=1$ und folglich $$\|x-y\|=\|\sum x_i(v_i-y)\|\le \sum x_i\|v_i-y\|\le \max{\|v_i-y\|}.$$ Insbesondere gilt $\|x-v_j\|\le \max{\|v_i-v_j\|}$ und folglich $\|x-y\|\le \max{\|v_i-v_j\|}$. Die Gleichung wird klar angenommen.
qed
1.5.16. Lemma. Sind $v_0,\ldots,v_n\in \mathrm R^N$ und $\sigma=[v_0,\ldots,v_n]$, so ist $\mathfrak B_n\sigma$ eine Linearkombination affiner Simplizes mit Durchmesser höchstens $\frac{n}{n+1}\mathrm{diam}\,\sigma$.
Beweis. Induktion nach $n$. Der Fall $n=0$ ist klar, da $\mathrm{diam}\,[v_0]=0$. Die Definition der baryzentrischen Abbildung liefert die Gleichung $$
\mathfrak B[v_0,\ldots,v_n]=\sum_{k=0}^n (-1)^k b^\sigma \cdot \mathfrak B[v_0,\ldots,\widehat{v_k},\ldots,v_n].$$ Nach Induktionsannahme sind die in der Summe auftauchenden Simplizes $[v_0,\ldots,\widehat{v_k},\ldots,v_n]$ von Durchmesser höchstens $\frac{n-1}n\mathrm{diam}\,[v_0,\ldots,\widehat{v_k},\ldots,v_n]\le \frac{n-1}n\mathrm{diam}\,[v_0,\ldots,v_n].$ Die Ecken eines in der rechten Seite auftauchenden Simplex liegen in $\sigma$ und insbesondere ist $b^\sigma$ eine solche Ecke. Der Durchmesser ist somit höchstens gleich $\sup\|b^\sigma-x\|$ für $x=\sum x_iv_i$. Insbesondere ist $ \|b^\sigma-x\|\le \max\|b^\sigma-v_i\|$ und es gilt $$\|b^\sigma-v_i\|=\left\|\frac1{n+1}\left(\sum v_j\right)-v_i\right\|\le \frac1{n+1}\sum_j \|v_j-v_i\|\le\frac{n}{n+1}\mathrm{diam}\,\sigma.$$ Die Aussage folgt nun wegen $\frac{n-1}n\le \frac{n}{n+1}$.
qed
1.5.17. Lemma. Es sei $\sigma\colon \Delta_n\to X$ ein singulärer Simplex. Dann existiert ein $k\in \mathbb N$, so dass jedes Simplex in der Kette $\mathfrak B^k\sigma$ in eines der Elemente von $\mathfrak U$ abbildet.
Beweis. Die Urbilder $\sigma^{-1}(\mathring{U})$ für $U\in \mathfrak U$ bilden eine offene Überdeckung von $\Delta_n$. Sei $\varepsilon \gt 0$ eine Lebesgue-Zahl (Vgl. MI 1.4.7.) zu dieser Überdeckung. Die Simplizes in $\mathfrak B^k\sigma$ haben nach 1.5.16 einen Durchmesser von höchstens $\left(\frac{n}{n+1}\right)^k \mathrm{diam}\,[e_0,\ldots,e_n]$. Diese Zahl ist kleiner als $\varepsilon$, sobald $k$ nur groß genug gewählt wird.
qed
Nach all dieser Vorbereitung kommen wir zum
Beweis von 1.5.9. Es sei $a\in C^{\mathfrak U}_n(X)$ in $C^{sing}_n(X)$ nullhomolog. Das heißt $a=\partial b$ für ein $b\in C^{sing}_{n+1}(X)$. Nach 1.5.17. existiert ein $k$ mit $\mathfrak B^k(b)\in C^{\mathfrak U}_{n+1}(X)$. Nach 1.5.14. existiert eine natürliche Kettenhomotopie $T^{(k)}$ zwischen $\mathfrak B^k$ und der Identität. Aus der charakterisierenden Gleichung $$\mathfrak B^k(b)-b=T^{(k)}(\partial b)+\partial T^{(k)}(b)$$ einer Homotopie folgern wir $$a=\partial b=\partial \left(\mathfrak B^k(b)-T^{(k)}(a)\right)\in \partial \left(C^{\mathfrak U}_{n+1}(X)\right).$$ Ist $a\in C^{sing}_n(X)$ ein Zykel. Es existiert wieder nach 1.5.17. ein $k$ mit
$$\mathfrak B^k(a)\in C^{\mathfrak U}_{n}(X).$$ Da $\mathfrak B^k$ eine Kettenabbildung ist, ist $\mathfrak B^k(a)$ ebenso ein Zykel und wegen $$\mathfrak B^k(a)-a=T^{(k)}(\partial a)+\partial T^{(k)}(a)=\partial T^{(k)}(a)$$ homolog zu $a$.
qed