Wir versehen die Menge \[\mathbb C:=\mathbb R\times\mathbb R=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb R \}\] mit den Verknüpfungen
\begin{align}
(a, b) + (a', b')&:= (a + a', b + b')\\
(a, b)\cdot(a', b')&:=(aa'-bb', ab'+a'b).
\end{align}
Satz 1.7.1. Das Tripel \(\left(\mathbb C,+,\cdot\right)\) bildet einen Körper.
Beweis. Kommutativität, Assoziativität und Distributivität von Addition und Multiplikation verifiziert man leicht durch Rechnung. Ebenso sieht man sofort, dass die Elemente $0_{\mathbb C}:=(0,0)$ und $1_{\mathbb C}:=(1,0)$ als neutrale Elemente bezüglich Addition und Multiplikation fungieren, und $(-a,-b)$ ein additiv Inverses zu $(a,b)$ ist. Es bleibt zu zeigen, dass jedes Element $(a,b)\not=(0,0)$ ein multiplikativ Inverses besitzt. Aus $(a,b)\not=(0,0)$ folgt $a^2+b^2\gt 0$. Folglich ist das Element $$
\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)
$$ definiert und es gilt \begin{align}
(a,b)\cdot \left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)
&=\left(a\cdot\frac{a}{a^2+b^2}-b\cdot \frac{-b}{a^2+b^2},a\cdot\frac{-b}{a^2+b^2}+b\cdot\frac{a}{a^2+b^2}\right) \\
&=(1,0)\end{align} qed