Definition. Es sei $a$ eine positive reelle Zahl. Das quadratische Polynom $$q=aX^2+2bX+c$$ mit reellen Koeffizienten \(a,b,c\) heißt
Stellt man das Polynom \(q\) etwas anders dar, nämlich in der Form$$
aq=(aX+b)^2+(ac-b^2), $$ so folgt aus der Tatsache, dass in angeordneten Körpern Quadrate stets nicht-negativ sind:
Bemerkung. Die durch das quadratische Polynom \(q\) beschriebene Funktion \begin{align}\mathbb R&\to \mathbb R\\r&\mapsto ar^2+2br+c\end{align}
- nimmt ausschließlich positive Werte an, falls das Polynom \(q\) positiv definit ist.
- Falls das Polynom \(q\) positiv semidefinit ist, nimmt die dadurch beschriebene Funktion für \(r=\frac{-b}a\) den Wert Null an und ansonsten nur positive Werte.
- Falls das Polynom \(q\) indefinit ist, nimmt die entsprechende Funktion sowohl positive, wie auch negative Werte an und den Wert $0$ für \[r=\frac1a\left(-b\pm\sqrt{b^2-ac}\right).\]
Als Anwendung beweisen wir die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 1.6.15. Für reelle Zahlen $a_1,\ldots,a_n$ und $b_1,\ldots,b_n$ gilt$$
\left|\sum^n_{k=1}a_kb_k\right|\, \le \, \sqrt{{\sum^n_{k=1}a_k^2}}\,\sqrt{{\sum^n_{k=1}b_k^2}}
$$ Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen $u$ und $v$ gibt, nicht beide Null, so dass gilt $ua_k=vb_k$ für alle $k$ von $1$ bis $n$.
Beweis. Sind alle $a_k=0$, so sind beide Seiten in der behaupteten Ungleichung Null und die Gleichung $ua_k= vb_k$ gilt mit $u=1, v=0$ für alle $k$. Ansonsten betrachten wir das Polynom
\begin{align}
q&=\sum^n_{k=1}(xa_k+b_k)^2\\
&=\left(\sum^n_{k=1}a^2_k\right)x^2+2\left(\sum^n_{k=1}a_kb_k\right)x+\left(\sum^n_{k=1}b^2_k\right).
\end{align}
Der Koeffizient von $x^2$ ist positiv und wir können die obige Bemerkung anwenden. Das Polynom $q$ ist nicht indefinit, da eine Summe von Quadraten nie negativ werden kann. Ist $q$ semidefinit, so gibt es eine reelle Zahl $r$, so dass für alle $k$ gilt $ra_k+b_k=0$. Mit $u=r$ und $v=-1$ gilt dann $ua_k=vb_k$ für alle $k$. Andernfalls ist $q$ definit und folglich gilt $$
\left(\sum^n_{k=1}a^2_k\right)\left(\sum^n_{k=1}b^2_k\right)-\left(\sum^n_{k=1}a_kb_k\right)^2>0.$$ Nach Wurzelziehen folgt die Behauptung$$
\left|\sum^n_{k=1}a_kb_k\right| \lt \sqrt{{\sum^n_{k=1}a_k^2}}\,\sqrt{{\sum^n_{k=1}b_k^2}}.
$$ qed
Als weitere Folgerung erhalten wir die
Dreiecksungleichung 1.6.16. Für reelle Zahlen $a_1,\ldots,a_n$ und $b_1,\ldots,b_n$ gilt $$
\sqrt{\sum^n_{k=1}(a_k+b_k)^2}\,\le\, \sqrt{\sum^n_{k=1}a^2_k}\,+\, \sqrt{\sum^n_{k=1}b^2_k}.$$
Im Fall $n=1$ steht hier nur die Ungleichung $|a+b| \le |a|+ |b|$, die wir schon kennen. Der Name kommt von der geometrischen Interpretation dieser Ungleichung. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors $\overrightarrow{a} =(a_1,\ldots,a_n)$ im $n$-dimensionalen reellen Vektorraum \(\mathbb R^n\) gegeben durch \[\left\vert\overrightarrow{a}\right\vert=\sqrt{\sum_{k=1}^na_k^2}.\] Derart interpretiert, besagt der Satz, dass in einem durch Vektoraddition der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Dreieck im $\mathbb R^n$ jede Seite des Dreiecks kürzer ist als die beiden anderen Seiten zusammen.
Beweis.\begin{align}
\sum^n_{k=1}(a_k+b_k)^2&=\sum^n_{k=1}a^2_k+2\sum^n_{k=1}a_kb_k
+\sum^n_{k=1}b^2_k\\
&\le\sum^n_{k=1}a^2_k+2 \left|\sum^n_{k=1}a_kb_k\right|
+\sum^n_{k=1}b^2_k\\
&\le\sum^n_{k=1}a^2_k+2\sqrt{\sum^n_{k=1}a^2_k}\sqrt{\sum^n_{k=1}b_k^2}
+ \sum^2_{k=1}b^2_k\\
&=\left(\sqrt{\sum^n_{k=1}a_k^2} + \sqrt{\sum^n_{k=1}b_k^2}\right)^2.
\end{align} Die behauptete Ungleichung folgt nach Wurzelziehen. Bei der zweiten Abschätzung wurde die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung angewandt.
qed