Satz von Bolzano-Weierstraß 2.1.9. Jede beschränkte Folge $(a_n)$ in $\mathbb K$ besitzt einen Häufungspunkt und daher eine konvergente Teilfolge.
Beweis. Im Falle einer reellen Folge ist dies eine Konsequenz der bewiesenen Eigenschaften des Limes superior (2.1.8). Da die Folge beschränkt ist, sind der Limes inferior und der Limes superior jeweils reelle Zahlen und darüber hinaus Häufungspunkte der Folge.
Ist $(a_n)$ eine beschränkte komplexe Folge, so sind die Folgen $(\Re(a_n))$ und $(\Im(a_n))$ beschränkt. Aus der soeben bewiesenen reellen Version des Satzes folgt zunächst, dass es eine Teilfolge $(a_{n_k})$ gibt, so dass $(\Re(a_{n_k}))$ konvergiert. Erneute Anwendung des Satzes auf die Teilfolge liefert uns eine Teilfolge der Teilfolge, für die der Imaginärteil konvergiert. Natürlich konvergiert die Folge der Realteile immer noch. Für die Teilfolge der Teilfolge konvergieren also sowohl Real- wie auch Imaginärteil, und damit nach Satz 2.1.1 die Teilfolge der Teilfolge selbst.
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