Es sei $(a_n)$ eine Folge komplexer Zahlen. Wir bezeichnen \[s_n:=\sum_{\nu=1}^na_\nu
\] als die $n$-te Partialsumme. Die Folge $(s_n)$ heißt unendliche Reihe und wird mit \[\sum_{n=1}^\infty a_n
\] oder mit \[a_1+a_2+a_3+\ldots \] bezeichnet. Falls die Folge $(s_n)$ gegen $s$ konvergiert, so heißt die Reihe konvergent und wir schreiben \[\sum_{n=1}^\infty a_n
=s.\] Reihen können natürlich auch bei jedem anderen ganzzahligen Index anfangen, nicht nur bei der $1$. Nicht konvergente Reihen heißen divergent.
Beispiele.
- Die Reihe $\frac1{1\cdot 2}+\frac1{2\cdot 3}+\frac1{3\cdot 4}+\frac1{4\cdot 5}+\ldots$ konvergiert und es gilt \[
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}=1.\]
Beweis. Es gilt $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$. Damit erhält man für die $n$-te Partialsumme \[
s_n=\sum_{\nu=1}^n\left(\frac1\nu-\frac1{\nu+1}\right)=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)\ldots\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\left(1-\frac1{n+1}\right).
\]Im Limes $n\to\infty$ folgt $s_n\to 1$.
qed - Es sei $q\in \mathbb C$. Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty q^n$ heißt geometrische Reihe. Die $n$-te Partialsumme kennen wir (Satz 1.4.2) \[s_n=\sum_{\nu=0}^n q^\nu=1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\] Ist $|q|\lt 1$, so konvergiert $s_n$ gegen $\frac1{1-q}$, das heißt \[
\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac1{1-q}.
\] Dagegen divergiert die Reihe im Falle von \(|q|\ge 1\) nach dem Kriterium des folgenden Satzes.
qed
Satz 2.2.1. Konvergiert die Reihe $\sum_{n=1}^\infty a_n$, so ist $(a_n)$ eine Nullfolge.
Beweis. Es sei $s_n=\sum_{\nu=0}^na_\nu$, und es gelte $\lim(s_n)=s$. Dann gilt in ebenso $\lim(s_{n-1})=s$ und folglich\[
\lim(a_n)=\lim(s_n-s_{n-1})=\lim(s_n)-\lim(s_{n-1})=s-s=0.
\]qed