Sei $g$ eine Gerade und $T:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{E}$ eine Translation in Richtung $g$. Für $P\in g$ liegt der Bildpunkt $T(P)$ unter der Translation auf der Geraden $g$ und folglich ist $g=T(g)$ eine invariante Gerade.
Definition. Wenn $T$ eine Verschiebung entlang der Geraden $g$ ist, so nennt man das Kompositum $\tau=T\circ s_{g}$ eine Gleitspiegelung. Die Gerade $g$ nennt man Achse der Gleitspiegelung $\tau$.
Dies Bild zeigt eine wiederholt ausgeführte Gleitspiegelung, angewandt auf einen Fußabdruck. Eine Spiegelung betrachten wir als eine spezielle Gleitspiegelung, bei der die Translation eben um den Nullvektor erfolgt. Eine Gleitspiegelung, die keine Spiegelung ist, nennen wir im folgenden eine echte Gleitspiegelung.
Bemerkung. Im Falle einer Gleitspiegelung $\tau=T\circ s_{g}$ gilt $T\circ s_{g}=s_g\circ T$.
Beweis. Wir betrachten das Kompositum $s_{g}^{-1}\circ T\circ s_{g}$. Wegen der Multiplikativität der Orientierung $$\mathrm{or}\left(s_{g}^{-1}\circ T\circ s_{g}\right)=
\mathrm{or}\left(s_{g}^{-1}\right)\cdot\mathrm{or}\left( T \right)\cdot\mathrm{or}\left( s_{g}\right)=(-1)\cdot 1\cdot (-1)=1$$ ist dies eine orientierungserhaltende Isometrie, also eine Bewegung. Wie jede Bewegung, ist auch diese vollständig bestimmt durch ihre Wirkung auf eine Strecke. Wir betrachten dazu eine Strecke auf der Geraden g. Diese wird durch $s_{g}$ in sich abgebildet und durch $T$ entlang der Geraden $g$ verschoben. Die resultierende Strecke liegt noch immer auf der Geraden $g$, wird also durch erneute Anwendung der Spiegelung $s_{g}=s_g^{-1}$ nicht weiter bewegt. Also gilt $T=s_{g}^{-1}\circ T\circ s_{g}$. Wenden wir erneut die Spiegelung $s_g$ auf beide Seiten dieser Gleichung an, so erhalten wir die behauptete Gleichung $$s_g\circ T=s_g\circ s_{g}^{-1}\circ T\circ s_{g}= T\circ s_{g}.$$qed.
----------
Bildquelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Glide_reflection