Satz 2.19. Jede orientierungsumkehrende Isometrie $\tau:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{E}$ der Ebene ist Gleitspiegelung.
Beweis. Wir wählen uns eine Gerade $g$ und einen Punkt $Z\in g$ auf dieser Gerade. Dann ist $\tau\circ s_{g}$ orientierungserhaltend, somit eine Bewegung. Wir finden also eine eindeutig bestimmte Translation $T$ und eine Drehung $D$ um $Z$ mit $\tau\circ s_{g}=T\circ D.$ Folglich gilt $$\tau=\tau\circ s_{g}\circ s_{g}=T\circ D\circ s_{g}.$$ Wie die Berechnung der Kompositionen von Spiegelungen zeigt, ist die Drehung $D$ als Komposition $$D=s_h\circ s_g$$ zweier Spiegelungen an Geraden darstellbar, die sich mit dem halben Drehwinkel im Punkte $Z$ schneiden. Dadurch ist die Gerade $h$ eindeutig bestimmt. Komponieren wir von rechts mit der Spiegelung $s_g$, so erhalten wir $$D\circ s_g=s_h\circ s_g\circ s_g=s_h.$$ Wir erhalten also $$\tau=T\circ D\circ s_{g}=T\circ s_h.$$ Die Translation $T$ ist nicht notwendig parallel zur Geraden $h$. Aber der Vektor $T$ lässt sich eindeutig in eine Summe $$T= T'+T''$$ von Vektoren zerlegen, wobei $T'$ parallel zu $h$ ist und $T''$ senkrecht zu $h$ steht. Aus der Berechnung der Kompositionen von Spiegelungen wissen wir, dass sich die Translation $T''$ als Komposition $$T''=s_{h'}\circ s_h$$ zweier Spiegelungen an parallelen Geraden darstellen lässt, die senkrecht zu $T''$ stehen und deren Abstand die halbe Länge von $T''$ ist. Komponieren wir wieder von rechts mit der Spiegelung $s_gh$, so erhalten wir $$T'\circ T'' \circ s_h=T'\circ s_h'\circ s_h\circ s_h=T'\circ s_h'.$$ Da $T'$ parallel zu $h'$ ist, handelt es sich hier also um eine Gleitspiegelung mit $h'$ als Achse.
qed.