Definition. Es sei $D\subset \mathbb C$ und $a\in \mathbb C$. Eine Funktion $f\colon D\to\mathbb C$ hat in $a$ den Grenzwert $c\in \mathbb C$, wenn gilt:
In diesem Falle schreibt man $\lim_{z\to a}f(z)=c$.
In dieser Definition ist $a$ nicht notwendig ein Punkt in $D$. Insbesondere ist dann $f$ in $a$ nicht definiert. Andererseits hat der Wert $f(a)$, falls $a$ doch in $D$ liegen sollte, nichts mit dem Grenzwert zu tun, da die Folgen ja nur in $D\setminus \{a\}$ gebildet werden.
Definition. Es sei $D\subset \mathbb C$. Ein Punkt $a\in \mathbb C$ heißt Häufungspunkt von $D$, wenn es eine Folge $(z_n)$ in $D\setminus\{a\}$ mit $\lim z_n=a$ gibt.
Bemerkung. Es sei $D\subset \mathbb C$. Ein Punkt $a\in \mathbb C$ ist genau dann Häufungspunkt von $D$, wenn für jedes $\varepsilon\gt 0$ gilt \[
\left(D\setminus\{a\}\right)\cap U_\varepsilon(a)\not=\emptyset.\]
Definition. Eine Teilmenge $D\subset \mathbb C$ heißt abgeschlossen, wenn $D$ alle ihre Häufungspunkte enthält.
Bemerkung. Eine Teilmenge $D\subset \mathbb C$ ist genau dann abgeschlossen, wenn es zu jedem $a\in \mathbb C\setminus D$ ein $\varepsilon \gt 0$ mit $U_\varepsilon(a)\subset \mathbb C\setminus D$ gibt.
Weitere Notationen für Grenzwerte für $D\subset \mathbb R$:
- Rechtsseitiger Grenzwert: $\lim_{z\downarrow a}f(z)=c$ bedeutet: Es gibt eine Folge $(z_n)$ in $D$, mit $z_n\gt a$ für alle $n\in \mathbb N$ und für jede solche Folge gilt $\lim f(z_n)=c$. Analog ist der linksseitige Grenzwert $\lim_{z\uparrow a}f(z)=c$ definiert.
- Uneigentliche Grenzwerte: $\lim_{z\to +\infty}f(z)=c$ bedeutet: Es gibt eine Folge $(z_n)$ in $D$ mit $\lim z_n=\infty$ und für jede solche Folge gilt $\lim f(z_n)=c$.
- Weitere Grenzwertbegriffe erschließen sich unmittelbar aus der Notation.
Definition. Eine Teilmenge $K\subset \mathbb C$ heißt kompakt, wenn jede Folge $(z_n)$ in $K$ eine Teilfolge $(z_{n_k})$ besitzt, die gegen ein $z\in K$ konvergiert.
Satz 2.3.7. Eine Teilmenge $K\subset \mathbb C$ ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Beweis. Zuerst sei $K$ abgeschlossen und beschränkt. Es sei $(z_n)$ eine Folge in $K$. Da $K$ beschränkt ist, gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge $(z_{n_k})$ mit Grenzwert $z$. Es gilt entweder $z=z_n$ für ein $n$ oder $z_n\not= z$ für alle $n$. In letzterem Fall ist $z$ Häufungspunkt von $K$. Nach Voraussetzung ist $K$ abgeschlossen. In jedem Fall gilt also $z\in K$.
Sei nun $K$ kompakt. Wäre $K$ unbeschränkt, so gäbe es zu jedem $n\in \mathbb N$ ein $z_n\in K$ mit $|z_n|\ge n$. Dann gilt für jede Teilfolge $(z_{n_k})$ von $(z_n)$, dass $|z_{n_k}|\to\infty$ für $k\to \infty$. Demnach kann keine Teilfolge konvergieren, im Widerspruch zur Annahme, $K$ sei kompakt. Somit ist $K$ beschränkt. Es sei ferner $a$ ein Häufungspunkt von $K$. Nach Annahme existiert eine Folge $(z_n)$ in $K$ mit $\lim z_n=a$. Da $K$ kompakt ist, gibt es eine Teilfolge $(z_{n_k})$, die gegen ein $z\in K$ konvergiert. Es gilt aber auch $\lim z_{n_k}=z$ und damit $z=a\in K$. Da $a$ ein beliebiger Häufungspunkt war, ist $K$ abgeschlossen.
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Lemma 2.3.8. Eine kompakte Teilmenge $K\subset \mathbb R$, welche nicht leer ist, besitzt ein Maximum und ein Minimum.
Beweis. Da $K$ beschränkt und nicht leer ist, besitzt $K$ Supremum und Infimum in $\mathbb R$. Bezeichnet $M$ das Supremum, so gibt es eine Folge $(x_n)$ in $K$, welche gegen $M$ konvergiert. Da $K$ abgeschlossen ist, liegt $M$ in $K$ und ist damit nicht nur Supremum, sondern Maximum von $K$. Für das Minimum schließt man analog.
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Lemma 2.3.9. Es sei $K\subset \mathbb C$ kompakt und $f\colon K\to\mathbb C$ stetig. Dann ist auch $f(K)$ kompakt.
Beweis. Es sei $(z_n)$ eine Folge in $f(K)$. Für jedes $n$ wählen wir ein $x_n\in K$ mit $f(x_n)=z_n$. Da $K$ kompakt ist, hat die Folge $(x_n)$ eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})$ mit Grenzwert $x\in K$. Die Funktion $f$ ist stetig und folglich gilt $\lim z_{n_k}=\lim f(x_{n_k})=f(x)\in f(K)$.
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Korollar 2.3.10. Es sei $K\subset \mathbb C$ kompakt und nicht leer, $f\colon K\to\mathbb R$ stetig. Dann nimmt $f$ auf $K$ Maximum und Minimum an, d.h. es gibt $a\in K$ mit $f(a)=\sup\{f(z)\mid z\in K\}$ und $b\in K$ mit $f(b)=\inf\{f(z)\mid z\in K\}$
Beweis. Die beiden Lemmata besagen, dass $f(K)\subset \mathbb R$ kompakt ist und daher Maximum und Minimum besitzen.
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